Espacio Vectorial

Espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a unconjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
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Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos aplicaciones:

Operacióninterna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

operación externa tal que:
a)
b)
c)
d)
Los elementos de K se llaman escalares.
Los elementos de V se llaman vectores.

Observación
Para demostrar que un conjunto V es un espacio vectorial:* Si supiésemos que V es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos resuelto 1,2,3 y 4.
* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V tendríamos a y b.

Definición de subespacio vectorial
Sea V un espacio vectorial sobre K y no vacío,U es un subespacio vectorial de V si:
*
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Consecuencias
U hereda las operaciones de V comoaplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de U, y como consecuencia tenemos que U es un espacio vectorial sobre K.

Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que es un espacio vectorial sobre
Veamos pues que juega el papel de V y el de K:
Los elementos de son, de forma genérica, pares (x,y) de números reales.
defino la operación u+v = (x1,y1) + (x2,y2) := (x1+x2,y1+y2) =(x3,y3) que pertenece a V, esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
1)u+v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) = (x2+x1,y2+y1) = (x2,y2) + (x1,y1) = v+u, es decir u+v=v+u

2)u+(v+w) = u + ((x2,y2) + (x3,y3)) = u + (x2+x3,y2+y3) = (x1,y1) + ( (x2+x3) , (y2+y3) ) = (x1+(x2+x3),y1+(y2+y3)) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3), ahora véase que (u+v)+w es lo mismo, es decir u+(v+w)=(u+v)+w.3)u+(0,0) = (x,y)+(0,0) = (x+0,y+0) = (x,y) = u, es decir (0,0)=0 cero de V.

4)u = (x,y), u+(-x,-y) = (x,y)+(-x,-y) = (x-x,y-y) = (0,0) = 0, es decir -u:=(-x,-y) en general.
defino la operación au = a(x,y) := (ax,ay) = (x2,y2) que pertenece a V, esto implica que la multiplicación de escalar por vector es interna y bien definida.
a) a(bu) = a(b(x,y)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)y) =(ab)(x,y) = (ab)u, es decir a(bu)=(ab)u.
b) 1u = 1(x,y) = (1x,1y) = (x,y) = u, es decir 1u=u.
c) a(u+v) = a((x1,y1)+(x2,y2)) = a(x1+x2,y1+y2) = (a(x1+x2),a(y1+y2)) = (ax1+ax2,ay1+ay2) = (ax1,ay1)+(ax2,ay2) = au+av, es decir a(u+v)=au+av.
d) (a+b)u = (a+b)(x,y) = ((a+b)x,(a+b)y) = (ax+bx,ay+by) = (ax,ay)+(bx,by) = au+bu, es decir (a+b)u=au+bu.

Queda demostrado que es espacio vectorial.Representación de espacios vectoriales
Aunque hay quien no recomienda el uso de pinturas para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello veamos las notas:
* Llamaremos vector la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).* La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo.
* El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
* Encadenar vectores es unir el extremo que tiene un triángulo con el que no.
Examinemos cada uno de los casos que aparecen en la definición:
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro...