espacio vectorial

Contenido
Introducción. 2
Definición de Espacio Vectorial. 3
Propiedades: 4
Definición de Subespacio Vectorial y sus Propiedades. 5
Teorema 1: 5
Teorema 2: 6
Ejemplo 1: 7
Ejemplo 2: 7
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial. 8
Base. 8
Propiedades de las bases. 8
Ejemplos de bases. 8
Dimensión . 9
Propiedades de la dimensión. 9
Teorema. 10
Teorema 2. 10
Ejemplos de dimensión.11
Cambio de Base. 11
Propiedades de las matrices de cambio de base. 12
Espacio Vectorial con Producto Interno y sus propiedades. 13
Definición. 13
Ejemplo: 13
Cambio de Base, Base Ortonormal, proceso de Ortonormalización Gram-Schmidt 14
Cambio de base. 14
Teorema 1 14
Teorema 2 14
Base ortonormal. 14
Proceso de ortonormalización Gram – Schmidt. 15
Conclusión. 16
Bibliografía: 17Introducción.

En este presente trabajo se detalla un resumen general, de acorde al tema de "Espacios Vectoriales" y tratar de relacionar los temas referentes a la 4ta. Unidad.
Aquí vemos la estructura de Espacio Vectorial, que es la propia de los vectores y es aplicable a las matrices, a los polinomios, y a las funciones; y que permite identificar matrices como vectores y resolver múltiplesproblemas. La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio.
En estos 5 temas que se verán a continuación todos están asociados al los espacios vectoriales, pero con procesos diferentes entre sí donde se verá si eso no un espacio vectorial al igual que sus propiedades que tienen los espacios vectoriales, como dependencias e independencias lineales, y un espacio vectorial como producto interno.
También tratamos de sacar la esencia de cada tema y darles una vista relativamente rápida pero completa, ya que este trabajo esta propuesto para enseñar brevemente pero ampliamente los temas en este.Definición de Espacio Vectorial.

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espaciovectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espaciosvectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones.
Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y losespacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Propiedades:
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:Unicidad del elemento en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si...