Espacio Vectorial

INSTITUTO TECNOLOGICO DE QUERETARO UNIDAD EL MARQUÉS

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Algebra Lineal
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Tutor: Jorge Luis Alonso Moreno
Asesor: Ernesto Sarabia

Muñoz Frayle Alma Roseli
Reyes Aguilar Luis Martin

Grupo: MAD






Introducción.
El espacio es algo que no solo puede ser medido, ya que la percepciónde él es una, pero como es bien sabido el cosmos es infinito.
Existen medidas y cálculos matemáticos que nos acercan a esta percepción de una forma más tangible, aun sean solo vectores y medidas que probablemente no usemos, el conocimiento por este campo no debe dejarse a un lado.
En este tema se hablara del espacio vectorial y sus determinadas propiedades, es un tema un tanto complejo ydesconocido para nosotros, se espera llegar a introducir esto de una manera comprensible. Justificando un poco más nuestro tema y propósito general, es dar a conocer las propiedades del espacio vectorial con producto interno.
Apartar de este tema y antes de él se expondrán los temas que llevaran a una correcta comprensión de este mismo.
La correcta comprensión de estos, nos llevara a un grado dedetenimiento considerablemente notable. El universo está regido por formulas, cálculos y leyes, es cuestión de encontrarlas y aplicarlas, por ello mismo la importancia de saber sobre el tema, somos humanos sedientos de conocimiento y que mejor que conocer tu percepción y saber cómo funciona el espacio-tiempo.








¿Qué es el espacio vectorial?

La estructura matemática que se crea apartir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cordialidad.Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratarcon objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 es un espaciovectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .
 es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .


Espacio con producto interno
El producto interno también conocido como producto escalar, interior o punto, en V es una función que asocia a cadapareja de vectores u, v en V, un número real o escalar que denotamos por < u, v > también se puede expresar como una aplicación (u, v): V x V = K donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. (u, v).
Esto en particular quiere decir que un producto entre vectores de Rn cuyo resultado es un escalar, dicho producto llamamos producto escalar tiene usa serie depropiedades que permiten estudiar algunos aspectos geométricos
1. < u, v > = < v, u >, para todo par de vectores u y v en V.
2. < u, v + w > = < u, v > + < u, w >, para todo u, v y w en V.
3. < k u, v> = k < u, v > = < u, kv >, para todo u, v en V y k E R.
4. < u, u > ≥ 0 y < u, u > = 0 si y solo si u = 0.
El par (E, se denomina espacio vectorial euclídeo, un espacio vectorial en el que se...