Espacio vectorial

República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio de Educación Superior.
Universidad Politécnica Territorial del Zulia José Rafael Núñez Maracaibo-Zulia.
Cátedra: Álgebra.T.S.U:


Sección: 235B.




Maracaibo, 20 de Junio de 2013.
1. Espacio vectorial.
Es una estructura cuyos elementos, vectores, pueden multiplicarse por escalares y sumarse para dar lugar a combinaciones lineales, es decir, es cualquier conjunto que posea operaciones de suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades básicas. Los elementos de tal conjunto se llamaránvectores. Estas propiedades básicas son las siguientes:
Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w).
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector, tal que 0 + v = v para cualquier vector v.
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.
Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β(αv) =(βα)v
• Distributivas:
- Respecto de la suma de escalares: (α+β)v = αv + βv
- Respecto de la suma de vectores: α(u + v) = αu + αv
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1• v = v para cualquier vector v.
1.1. Ejemplos de espacios vectoriales.
a) El espacio Rn, formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores ymultiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones.
El vector cero es (0,. . .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de Rn.
b) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 concoeficientes reales:
P2 = { ax2 + bx + c : a, b, c ∈ R }
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:
Suma: (ax2 + bx + c) + (a’x2 + b’x + c’) = (a+a’)x2 + (b+b’)x + (c+c’) que pertenece a P2.
Producto por un escalar real: λ∈ℜ, λ(ax + bx+ c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0.
No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.
c) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientesreales.
No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios:
p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).
d) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2con términos reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.
No es un espacio vectorial complejo.
e) Consideremos el conjunto MCde las matrices 2x3 con términos complejos.
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.
También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.
f) Consideremos el conjunto...