Espacio vectorial

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 =espacio tridimensional, terna ordenadas.

.......

Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.

Operaciones Basicas con Vectores en R2:

Suma de vectores y multiplicación por un escalar:

Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:

X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).

Las propiedadesque cumple la suma de vectores son las misma que cumplían las estructuras algebraica de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:

La de cierre bajo la multiplicación Hx,

La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,

La asociativa (HI)x = H(Ix),

yel elemento neutro de la multiplicación 1x = x.

Operaciones Básicas con Vectores en Rn:

Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo:

Para suma de vectores

X + Y = (x1 ,x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).

Para multiplicación de un vector por un escalar

H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).

Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.

El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:

0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, esdecir, U + 0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Espacios Vectoriales:

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Podríamosdecir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espaciovectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimosanteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.

Sub cuerpo:

Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por unescalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W...