Espacio Vectoriales

Espacio vectoriales

Espacio vectorial

Es un conjunto de vectores donde se define una operación suma y una operación producto por un número real y estas operaciones satisfacen las propiedades de la suma y producto por un número real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres del plano. Es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal.
Un espaciovectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos aplicaciones:
[pic]Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
[pic]


2) tenga la propiedad asociativa, es decir
[pic]


3) tenga elemento neutro 0, es decir
[pic]


4) tenga elementoopuesto, es decir
[pic]
[pic]Operación externa tal que:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
Los elementos de K se llaman escalares.
Los elementos de V se llaman vectores.






Elementos de un espacio vectorial
A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Los vectores son unas herramientas geométrica utilizadas para representar unamagnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar definido. []
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos [pic]o [pic]; es decir, bidimensional o tridimensional.

Operaciones en los espacio vectoriales


Subespacio vectorial

Es el subconjunto de un espacio vectorial,que debe cumplir ciertas características específicas

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V(K).
Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. En este caso se denota H c H



Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:1. El conjunto de n-uplas de n´umeros reales:

Rn = fx = (x1; x2; : : : ; xn) = (xi)1·i·n : xi 2 R; 1 · i · ng
con las operaciones:
x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn)
¸x = (¸x1; ¸x2; : : : ; ¸xn)

2. El conjunto de matrices de dimensi´on n £ m:

Mn£m(R) = ½A = (aij) 1·i·n
1·j·m
: aij 2 R; 1 · i · n; 1 · j · m¾ con las operaciones: suma de matrices y producto por numeros reales.3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:

P(R) = ( n Xk=0 akxk : n 2 N; ak 2 R) con las clasicas operaciones de suma y producto por numeros reales.

4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado menor o igual que n:

Pn(R) = ( n Xk=0 akxk : ak 2 R) con las mismas operaciones anteriores.

5. El conjuntode todas las funciones reales:

F(R) = ff : R ¡! Rg con las operaciones: suma de funciones y producto por numeros reales.

6. El conjunto de todas las sucesiones de n´umeros reales:

S = f(xn)1n=0 : xn 2 R; n ¸ 1g con las operaciones: suma de sucesiones y producto por numeros reales.

7. Si Z2 = f0; 1g, entonces Zn 2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2, con las operaciones:
0 + 0= 1 + 1 = 0 ; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0 ¢ 0 = 0 ¢ 1 = 1 ¢ 0 = 0 ; 1 ¢ 1 = 1




Independencia lineal y combinaciones lineales

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1)y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.


Independencia lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

[pic]


a1 = a2 = ··· = an = 0




Los vectores linealmente independientes tienen...