Espacios de estado

José Luis Rodríguez, Ph.D., Octubre del 2003

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Modelos en el Espacio de Estado
Introducción: La tendencia moderna en la ingeniería de sistemas es hacia una complejidad cada vez mayor, debido principalmente a la complejidad de las tareas y a los estrictos requisitos de precisión. Los sistemas complejos pueden tener múltiples entradas y múltiples salidas y pueden ser variantes en el tiempo.Todos estos argumentos imponen múltiples requerimientos modelado que no son resueltos convenientemente con las herramientas que proporciona el modelado clásico, la alternativa es entonces el modelado basado en variables de estado, el cual ha sido desarrollado desde los años 60, pero que solo recientemente ha cobrado importancia debido a la facilidad para accesar computadores cada vez más rápidos,con…ables y económicos. El concepto de estado realmente no es un concepto nuevo ya que ha sido usado por largo tiempo en el campo de la dinámica clásica entre otros. La teoría basada en variables de estado contrasta con la teoría clásica o convencional basada en la transformada de Laplace, en que el primero es aplicable a sistemas los cuales pueden ser lineales o nolineales, invariantes ovariantes en el tiempo, con simple o múltiple entradas y simple o múltiple salidas, mientras que el segundo en general es aplicado sólo a sistemas lineales, invariantes en el tiempo con una entrada y una salida. Estado: se re…ere a las condiciones pasadas, presentes y futuras de un sistema. En general, el estado puede ser descrito por un conjunto de números, una curva, una ecuación, etc. Variables deEstado: se de…nen como el conjunto mínimo de variables x1 (t) ; x2 (t) ; , xn (t) ; tales que su conocimiento en cualquier tiempo t0 y la información sobre la señal de entrada aplicada subsecuentemente al tiempo t0 son su…cientes para determinar el estado del sistema para cualquier tiempo t ¸ t0 : Las variables de estado no necesitan tener un signi…cado físico y si lo tienen no requieren sercantidades medibles lo cual proporciona bastante libertad para seleccionarlas. Estado Inicial: es de…nido por las variables de estado x1 (t0 ) ; x2 (t0 ) ; , xn (t0 ) para cualquier tiempo inicial t = t0 : Vector de Estado: Es el vector que contiene como componentes las n variables de estado necesarias para describir el comportamiento de un sistema dinámico. Espacio de Estado: Es el espacio n-dimensionalcuyas ejes de coordenadas consiste de los ejes x1 ; x2 ; , xn : Cualquier estado puede representarse como un punto en este espacio. Salidas del Sistema: son las variables que en general pueden ser medidas y en el caso de sistemas de control son las variables seleccionadas para ser controladas. En general, las salidas de un sistema se pueden representar como la combinación lineal de variables deestado. Ecuaciones de Estado: son ecuaciones diferenciales de primer orden usadas para modelar sistemas dinámicos. En general, una ecuación diferencial de orden n puede ser descompuesta en n ecuaciones diferenciales de primer orden. Debido a que, en principio, las ecuaciones diferenciales de primer orden son más sencillas de resolver que las de orden superior, se justi…ca entonces este tipo dedescomposición. Un sistema un general se puede representar como: x (t) = f (x; u; t) _ (1)

José Luis Rodríguez, Ph.D., Octubre del 2003

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y (t) = g (x; u; t)

(2)

Donde la ecuación (1) es la ecuación de estado y la ecuación (2) es la ecuación de salida. Si los vectores de funciones f o g presentan el tiempo t explícitamente, el sistema recibe el nombre de variante en el tiempo. Si lasecuaciones (1) y (2) son linealizadas alrededor del punto de operación o si el sistema es originalmente lineal se obtiene la siguiente ecuación de estado y ecuación de salida: x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) _ (3)

y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)

(4)

Donde A (t) es la matriz de estado, B (t) es la matriz de entrada, C (t) es la matriz de salida y D (t) es la matriz de transmisión...