Espacios Vectoralias

INDICE

Definición de espacio vectorial y subespacio vectorial. |
Propiedades de cada uno de ellos. |
Combinación lineal e independencia lineal. |
Base y dimensión de un espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. |
Base ortonormal. ESPACIOS VECTORIALES |



Un espacio vectorial es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones Donde:

Es unaoperación binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

Es una operación binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicación por escalares.
SUBESPACIO VECTORIAL
Subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.








PROPIEDADES DELOS ESPACIOS VECTORIALES
Propiedad 1.

Propiedad 2.

Propiedad 3.

Propiedad 4.
.
Propiedad 5.

Propiedad 6.

Propiedad 7.

Propiedad 8.





DONDE:
+ y son las dos operaciones del campo F

A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.

No confundir con + , el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; yrecordar que es producto de escalares por vectores y es multiplicación de escalares.











CONVINACION LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL

Combinación lineal conjunto de vectores Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de.
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación linealde x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si
Esta idea es importanteporque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores eslinealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmentedependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.
Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial aun sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única paracada vector.
EJEMPLO:
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:
(a1, a2,. . ., an)= a1(1,0,. . . ,0)+...