Espacios Vectoriales II

Espacios Vectoriales
Parte II
X´ chitl Judith S´ nchez Lozano
o
a
Algebra Lineal

Divisi´ n de Ciencias e Ingenier´as, UG
o
ı
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •QuitIndependencia Lineal
Sea V un espacio vectorial con elementos v1 , ..., vn . Se dice que v1 , ..., vn
son LINEALMENTE DEPENDIENTES si existen n´ meros a1 , ..., an no todos
u
iguales a cero, talque

a1v1 + ... + anvn = O.

(1)

Si no existen tales n´ meros, se dice que v1 , ..., vn son LINEALMENTE INDEu
PENDIENTES (todas las ai = 0).

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Ejemplos
1. Sea V = Rn , consideremos los vectores:

E1 = (1, 0, ..., 0)
·
·
·
En = (0, 0, ..., 1).

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

E1, ..., En son LI. Esto es, si a1, ..., an sonn´ meros tales que, a1E1 + ... +
u
anEn = O, se tiene que: a1E1 + ... + anEn = (a1, ..., an) = O, por lo que
ai = 0.

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2. Muestre quelos vectores (1, 1) y (-3,2) son LI.
Sean a, b dos n´ meros tales que, a(1, 1) + b(−3, 2) = O.
u
Escribiendo la ecuaci´ n por componentes, se tiene: a − 3b = 0 y a + 2b = 0.
o
Resolviendo elsistema de ecuaciones se obtiene: a = 0 y b = 0, por lo que los
vectores SI son LI.

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Si los elementos v1, ..., vn de V generan unespacio, y adem´ s son LI,
a
entonces v1, ..., vn es una BASE de V.
Se dir´ que los elementos CONSTITUYEN o FORMAN una base de V.
a
Ejemplos
1. Los vectores E1, ..., En forman una base de Rn.
Paraprobarlo se tiene que mostrar que son LI y que generan el espacio vectorial. Lo primero se hizo en ejemplos anteriores. Para la segunda
condici´ n, dado un elemento A = (a1, ..., an) en Rn, se puedeescribir
o
A como una combinaci´ n lineal: A = a1E1 + ... + anEn, entonces, por
o
definici´ n, los vectores E1, ..., En generan Rn. Por lo tanto, FORMAN
o
UNA BASE.

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