Espacios Vectoriales III

Espacios Vectoriales
Parte III
X´ chitl Judith S´ nchez Lozano
o
a
Algebra Lineal

Divisi´ n de Ciencias e Ingenier´as, UG
o
ı
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Dimensi´ n de un espacio vectorial
o
´
La DIMENSION de un espacio vectorial se define como el n´ mero de elemenu
tos en alguna de las bases que lo generan.
- En Rn no se pueden definir m´ s de nvectores linealmente independientes.
a
Ejemplo:
¿Se pueden encontrar m´ s de 3 elementos linealmente independientes en R2 ?
a
En el caso espec´fico, ¿son los elementos: A = (1, 2), B = (−5, 7), C =
ı
(10, 4), linealmente independientes?

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La respuesta es NO.
Si escribimos la combinaci´ n lineal de esos vectores: xA + yB + zC =0, se
o
obtiene un sistema dde dos ecuaciones con 3 inc´ gnitas:
o

x − 5y + 10z = 0
2x + 7y + 4z = 0.

(1)
(2)

Sabemos, que no es posible encontrar una soluci´ n no trivial en este tipo de
o
sistemas, por lo que (x, y, z) no son todos cero, y por lo tanto los vectores
A, B, C son LD.
Por lo tanto, en R2 no se pueden definir m´ s de 2 vectores linealmente indepena
dientes.•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

- Tambi´ n, como vimos, n elementos linealmente independientes de Rn deben
e
generar Rn , y por lo tanto, forman una base (puede haber m´ s de una base que
a
n
genere R ).
- Finalmente, si una base de un espacio vectorial tiene n elementos, y otra base
tiene m elementos, entonces, m = n. Las dos bases deben tener el mismo
´
n´ merode elementos o DIMENSION.
u
...

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Teorema
Sea V un espacio vectorial generado por v1 , ..., vm . Sean w1 , ..., wn elementos
de V, con n > m. Entonces, w1 , ..., wn son linealmente dependientes.
Prueba:
Si v1 , ..., vm generan V, existen n´ meros (aij ) tales que se puede escribir:
u

w1 = a11v1 + ... + am1vm
.
.
.

wn= a1nv1 + ... + amnvm.

(3)
(4)
(5)

Si x1 , ..., xn son n´ meros, es posible escribir la combinaci´ n lineal de esos
u
o
vectores:

x1w1 + ... + xnwn = (x1a11 + ... + xna1n)v1 + ... + (x1am1 + ... + xnamn)vm
(6)
= 0
(7)

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Al igualar a cero se tiene que si todos los coeficientes son cero, entonces los
vectores son LI,si no es as´ ser´ n LD.
ı a
Se tiene que resolver el sistema de ecuaciones que surge para x1 , ..., xn :

x1a11 + ... + xna1n = 0
.
.
.

x1am1 + ... + xnamn = 0.

(8)
(9)
(10)

Como se vio en el tema de sistemas de ecuaciones hom´ geneos, este tipo de
o
sistema tiene una soluci´ n no trivial, porque n > m. Por lo que los vectores,
o
w1, ..., wn son linealmente dependientes.•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Teorema
Sea V un espacio vectorial. Supongamos que una de sus bases tiene n elementos, y otra tiene m elementos. Entonces m = n.
Prueba:
Por el teorema anterior, si n > m o n < m no puede ser una base, resulta que
los vectores son linealmente dependientes. Por lo tanto, m = n.

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Entonces, si V es un espacio vectorial que tiene una base de n elementos, se
dice que n es la dimensi´ n de V.
o

Ejemplos
´
1. Si V consiste unicamente del O, entonces no tiene una base, y se dice que
tiene dimensi´ n cero.
o
2. Una l´nea pasando a trav´ s del origen es simplemente un subespacio unidiı
e
mensional (dimensi´ n uno).
o
3. Un plano pasando a trav´ s del origenes simplemente un subespacio de dos
e
dimensiones.

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Teorema
Sea v1 , ..., vn un conjunto de generadores de un espacio vectorial V. Sea
v1, ..., vr un subconjunto m´ ximo de elementos linealmente independiena
tes. Entonces, v1 , ..., vr es una base de V.
Prueba:
Se debe probar que v1 , ..., vr generan V. Si esto es...