Espacios Vectoriales I

Espacios Vectoriales
Parte II
X´ chitl Judith S´ nchez Lozano
o
a
Algebra Lineal

Divisi´ n de Ciencias e Ingenier´as, UG
o
ı
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Repaso sobre Determinantes
Una matriz cuadrada A es invertible, si y s´ lo si, D(A) = 0.
o
Si A tiene un rengl´ n o una columna compuesta de s´ lo ceros, D(A) = 0.
o
o
Si A es una matriztriangular n × n, con elementos diferentes de cero en
la diagonal, D(A) = a11 a22 ...ann .
Si un rengl´ n o una columna de A se multiplica por un escalar k , D(A ) =
o
kD(A).
Si se intercambian dos renglones o dos columnas de A, D(A ) = −D(A).
Cuando un m´ ltiplo de un rengl´ n se suma a otro, D(A ) = D(A).
u
o

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D(A) = D(AT ).D(I) = 1.
D(AB) = D(A)D(B).
Si A es una matriz con con renglones o dos columnas proporcionales,
D(A) = 0.
A es invertible, si y s´ lo si, D(A) = 0.
o
Si A es invertible, D(A−1 ) =
A−1 =

adj(A)
,
D(A)

1
.
D(A)

con adj(A) = (−1)i+j D(Aji ) = [(−1)i+j D(Aij )]T .

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Aplicaciones:

• Sistemas lineales de la forma Ax =λx, con λ un escalar.
Son realmente sistemas homog´ neos de la forma:
e

(λI − A)x = 0,

(1)

encontrar λ para los cuales la soluci´ n es no trivial, da eigenvalores y
o
eigenvectores. Y la soluci´ n del sistema es no trivial, si y s´ lo si,
o
o

D(λI − A) = 0,

(2)

lo que se conoce como ecuaci´ n caracter´stica.
o
ı
´
• Area de paralelogramo generado por dos vectores, y as´,volumen de la
ı
caja n dimensional generada por vectores de R, |D(v1 , v2 , ..., vn )|.

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Espacios vectoriales
Definiciones
Un ESPACIO VECTORIAL V, es un conjunto de objetos que pueden ser sumados y multiplicados
por n´ meros. La suma de dos elementos de V debe ser tambi´ n elemento de V, y el producto de
u
e
un elemento de Vpor un n´ mero, ser´ tambi´ n elemento de V.
u
a
e
Satisface las siguientes propiedades:
Dados los elementos u, v , w de V, se tiene: (u + v) + w = u + (v + w).
Hay un elemento de V, denotado por O, tal que: O + u = u + O = u.
Dado un elemento u de V, el elemento (−1)u es tal que: u + (−1)u = O.
Para todos los elementos u, v de V, se tiene: u + v = v + u.
Si c es un n´ mero, entonces:c(u + v) = cu + cv .
u
Si a, b son dos n´ meros, entonces: (a + b)v = av + bv .
u
Si a, b son dos n´ meros, entonces: (ab)v = a(bv).
u
Para todos los elementos u de V, se tiene 1 · u = u.

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Ejemplos
1. Sea V el conjunto de todas las matrices m × n (m y n enteros positivos).
Entonces, V es un espacio vectorial.
Se puedeverificar que todas las propiedades de espacios vectoriales son satisfechas por las reglas de adici´ n de matrices y multiplicaci´ n de matrices por
o
o
n´ meros.
u

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2. Sea V el conjunto de todas las funciones definidas por todos los n´ meros.
u
Entonces, V es un espacio vectorial.
Si f y g son funciones, su suma ser´ f + g , y es lafunci´ n cuyo valor a un
a
o
n´ mero t es f (t) + g(t). Tambi´ n se sabe como multiplicar una funci´ n por
u
e
o
un n´ mero c, es la funci´ n cf , cuyo valor a un n´ mero t es cf (f ). Al tratar
u
o
u
con funciones, se usan las propiedades de espacios vectoriales muchas veces,
tal que, un conjunto de funciones es un espacio vectorial.
La que puede no ser tan obvia es la definici´ n deuna funci´ n f tal que f (t) = 0
o
o
para todo t, conocida como la funci´ n cero (TODO t!!).
o

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Subespacios
Sea V un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V. Asumiendo que
W satisface las siguientes condiciones:
Si v, w son elementos de W, su suma es tambi´ n un elemento de W.
e
Si v es un elemento de W y c es un...