Espacios vectoriales

Chapter 1

Espacio Vectorial
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones; una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. ( La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. ( La multiplicación es una regla que asocia a unescalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas: ( Axioma 1: Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v ∈V (1.1)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma; la suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento delconjunto. ( Axioma 2: Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v =v⊕u (1.2)

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma; el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. ( Axioma 3: Para cualquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (1.3)

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma; en una suma de vectores, noimporta el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo. ( Axioma 4: Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u⊕0=0⊕u=u (1.4) Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro; existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da elmismo segundo elemento.

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CHAPTER 1. ESPACIO VECTORIAL

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( Axioma 5: Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (1.5) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos; cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo. (Axioma 6: Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c u∈V (1.6)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares; el resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. ( Axioma 7: Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquierescalar c en R se cumple c (u ⊕ v) = (c u) (1.7)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores); en un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados. (Axioma 8: Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) u = (a u) ⊕ (b u) (1.8)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares. ( Axioma 9: Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a (b u) = (ab) u (1.9)

Esta propiedad se conoce como la ley asociativa delproducto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto. ( Axioma 10: Para cualquier vector u ∈ V se cumple 1 u=u (1.10)

Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Exercise 1. Indiquecual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto. 1.- (c + k) x = (c x)⊕(k x) 2.- x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x 3.- x⊕y = y ⊕ x 4.- c x es vector 5.- x⊕(−x) = (−x) ⊕ x = 0 6.- x⊕y es vector Indique cual opción describe la propiedad: Exercise. x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. 3.- Distributividad del producto...