Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES (Ev)
Ev: <V,k,+.>
V: Conjunto de vectores
K: Conjunto de escalares
+: Operación suma de Vectores (operación interna)
.: Operación escalar por un vector (operaciónexterna)

<V,k,+,.>
SUMA
i. v,u∈ V → (v+u) ∈V
ii. v,u,w∈ V → v+(u+w)=(v+u)+w
iii. Ov∈ V, v∈ V → v+Ov=v
iv. ∀v∈V, ∃(-v) ∈V→v+(-v)=}}8-v)+v= Ov
v. ∀v,u→ v+u=u+v
ESCALAR VECTORi. ∝∈R;vϵV:(αv)∈V
ii. 1∈R;vϵV:1v=V
iii. ∝,β∈R;vϵV:αβv=∝βv=β(∝v)
iv. ∝∈R;v,uϵV:αv+u=αv+αu
v. ∝,β∈R;vϵV:α+βv=∝v+β(v)
TEOREMAS
i. ∀v,u∈V:-v+-u=-(v+u)
ii. v∈V: --v=v
iii.0∈R:v≠Ov:0v=0v
iv. ∝∈R;v=0v∈V:α0v=0v
v. ∝∈R;vϵV:αv=0v→α=0 ;v=0v
vi. ∝∈R;∝<0,v∈V:∝v=-(|α|v)
EJEMPLOS
1) <R2,R,+,.> EV?
2) v=(a,b)∈R2v+u=(a+c;b+d)
3) u=(c,d)∈R2

i. (a,b)+(c+d)= (a+c;b+d) ∈R2
ii. w=(e,f)∈R2
v+u=(a+c;b+d)w=(e,f)
(v+u)+w=(a+c+e;b+d+f)
(v+u)+w=v+(u+w)
0v=(0.0)
v∈R2,-v∈R2:-v=(-a,-b)

ALGUNOS EV
EV |OPERACIONES USUALES + . |
<R2,R,+,.> | V=(a,b) v+u=(a+c;b+d)U=(c,d)α∈R:αa,b;(αa;αb) |
<Rn,R,+,.> | V=(a1,a2,…,an) v+u=(a1+b1;a2+b2;…;an+bn)U=(b1,b2,…,bn)α∈R:αv;(αa1;αa2,…,αan) |
<Mm.n,R,+,.> | A=(aij)∈Mm.n A+B=(aij+bij)B=(bij)∈Mm.n αA=(αaij) |
<P2,R,+,.> |P1=a2x2+a1+a0 (P1+P2)(x)=(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)P2=b2x2+b1+b0 α.Px=αa2x2+αa1x+(αa0) |
<Pn,R,+,.>...