espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

Definición: Si n es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números reales (a1, a2,.....an)· El conjunto de todas las n-adas ordenadas se conoce como espacio n dimensional y se denota por Rn

Cuando n = 2, o bien, 3, es común usar los términos "pareja ordenada" y "terna ordenada" en lugar de 2-ada y 3-ada ordenadas. Cuando n = l, cada n-adaordenada consta de un número real y, por tanto, R1 se puede concebir como el conjunto de los números reales. Para este conjunto, es común escribir R en lugar de R1.

Es posible encontrar, en el estudio del espacio tridimensional que el símbolo (a1, a2,a3) tenga dos interpretaciones geométricas diferentes. Puede interpretarse como un punto, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las coordenadas o se puedeinterpretar como un vector, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las componentes. Por tanto, se concluye que una n-ada ordenada (a1, a2,.....an)· se puede concebir como un ''punto generalizado" o como un "vector generalizado", y como desde el punto de vista matemático no tiene importancia, se puede describir una n-ada como Rn .

Definición: Se dice que dos vectores u = (u1, u2,.....un) y v = (v1,v2,.....vn) en Rn son iguales si

u1 = v1 , u 2 = v2,......un = vn

La suma u + v se define como

U + v = ( u1 + v1, u2 + v2,.....un + vn)

Si K es cualquier escalar, el múltiplo escalar ku se define por

Ku = (ku1,ku2,........kun )

Las operaciones de adición y multiplicación escalar dadas en esta definición se denominan operaciones estándares sobre Rn

El vector cero en Rn se define comoel vector

0 = (0,0,........0)

El vector negativo o inverso de u se denota -u y se define

-u = (-u1 - u2,.....-un)

Se define la sustracción de vectores en Rn por v - u = v + (-u) o en términos de las componentes

V - u = v + (-u) = (v1, v2,.....vn) + (-u1 - u2,.....-un)

= (v1 - u1 , v2 - u2, ..... vn -un)

Espacio Vectorial Trivial

Sea V={0}, Es decir V consiste sólo en elnúmero 0como 0+0=1.0 = 0+(0+0) +0 =0, se ve que Ves un espacio vectorial . Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial

Teorema

Si u = (u1, u2,.....un), v = (v1, v2,.....vn) y w = (w1, w2,.....wn) son vectores en Rn y k y l son escalares , entonces

a) u+v = v+u

b) u + (v + w) = (u -+- v) + w

c) u+0 = 0+u = u

d) u +(—u)= 0 es decir, u - u= 0

e) k{lu)=(kl)u '

f)k(u + v) = Ku +Kv

9) (K + l)u = ku + lu

h) lu = u

Con este teorema se pueden manipular los vectores en Rn sin expresarlos en términos de componentes, casi de la misma manera como se manipulan los números reales.

Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial x+u=v, se puede sumar u a ambos miembros y proceder como sigue:

(x+u)+(-u) = v + (-u)

x + (u- u) = v - u

x + 0 =v - u

x = v - u

Definición.

Si u = ( u1,u2,...un ) y v = ( v1,v2,...vn ) son vectores cualesquiera en

Rn, entonces el producto euclidiano interior u • v se define por

u.v = u1.v1 +u2.v2 +.........+un.vn

Teorema

Si u, v y w son vectores en R" y k es un escalar cualquiera, entonces:

a) u • v = v • u

b) (u+v) * w = u •w+v •w

c) (ku) • v = k(u • v)

d) v • v >= 0.Además, v , v= 0 si y solo si v = 0

Se probara el casos (b)

Demostración (b).

Sean u = (u 1, u2, ... un), v= (v1, v2, ... vn), w = (w1, w2, ... wn)

Entonces (u+v).w = (u 1.+ v1, u2.+ v2,....Un.+ vn) . (w1, w2, ... wn)

. = (u 1.+ v1) w1 + (u2 .+ v2) . w2+........(un .+ vn)+ wn.

= (u1. w1 + u2 w2+....+.un. wn) + (u1. w1 + u2 w2+.......+.un. wn)

= u.w + v.w

v. v = v1 + v2 + ..+ vn>= 0 Además la igualdad se cumple si y sólo si v1 = v2= ....= vn = 0, es decir si y solo si v = 0.

Ejemplo

Si V1 y V2 son vectores no colineales en R3 con puntos iniciales en el origen, entonces lin {V1, V2}, el cual consta de todas las combinaciones lineales k1 V1 + k2 V2, es el piano determinado por Vi y V2

De modo análogo, si v es un vector diferente de cero en R2 o R3, entonces...