Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
Comenzamos definiendo un campo y un espacio vectorial sobre un campo (es común observar que un campo es en particular un grupo abeliano ). Los ejemplos típicos de campos son el campo de los números reales R, el campo de los números complejos C y para cada número primo p en Z, el campo de los enteros módulo p, Zp. Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rn sobre elcampo R, Cn sobre el campo C (en general, Fn sobre cualquier campo F), al igual que los siguientes ejemplos con las correspondientes operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares:
Polinomios con coeficientes en un campo F
P(F) = {a0 + a1t + a2t2 + ... + antn | ai ↑ F y n ↑ N}
Funciones de un conjunto X en un campo F
F(S, F) = {f : X ® F | f es una función}
Funciones continuasde un espacio topológico X en un campo F con una topología en él definida
C(X, F) = {f : X ® F | f es una función continua}
Matrices de n x m con entradas en un espacio vectorial V sobre un campo F
Mn x m(V) = {(
a1,1
...
a1,m
:

:
an,1
...
an,m

) | ai,j  V, con 1 £ i £ n y 1 £ j £ m}

Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campoF cuyas pruebas se dejan como ejercicios:

1. (Ley de la cancelación) Si x, y, z ↑ V y x + z = y + z, entonces x = y
2. El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x ↑ V, x + 0 = x
3. Para toda x ↑ V, 0x = 0
4. Para todo a ↑ F y x  V, (-a)x = -(ax)
5. Para toda a ↑ F, a0 = 0

Se define un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar queun subconjunto W ↑ V es un subespacio si y sólo si para todos a, b ↑ F y x, y ↑ V, ax + by ↑ V. Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de Mn x n(V) formados por matrices (1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero. Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera) subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo, esto no sucede con la unión(como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R2 que pasen por el origen).

Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que es precisamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir,
= {a1x1 + ... + anxn | n ↑ N, ai ↑ F y xi ↑ V}.

Definimos la sumade un número finito de subconjuntos S1, ..., Sn de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W1, ..., Wn £ V, entonces
W1 + ... + Wn =

Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W1, W2 ↑ V, y es fácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x  W1 y y ↑ W2 tales que z = x + y).Definimos el que un subconjunto S ↑ V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.

Para definir la dimensión de un espaciovectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S ↑ V y x ↑ V - S, entonces el conjunto S ↑ {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.

TEOREMA I.2 Si b es una base de Vcon exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S0 ↑b con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S É S0) = V.
Demostración
Como consecuencia del teorema I.2 tenemos el siguiente resultado.

COROLARIO I.3 Si V posee una base con exactamente n elementos, entonces todo...