Espacios Vectoriales

spacios vectoriales: CAMBIO de BASE


Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. En la clase de hoy estudiaremos las coordenadas de un vector con respecto auna base fija, veremos que esas coordenadas cambian al cambiar la base del espacio y estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.

Empezaremos con un ejemplo; tomemos B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de 3 y w = (2,-3,4) un vector en 3. Expresaremos w como combinación lineal de B

-¿porqué esto es posible para cualquierw en 3?.


Es decir, queremos encontrar escalares , ,  tales que

(2,-3,4)=(1,0,-1)+(-1,1,0)+(1,1,1)

lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,
 - + = 2
+ =-3
- + = 4, cuya matriz aumentada es

En general tenemos el siguiente

TEOREMA 1:

Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v1, v2,...,vn} es una base de V, entonces para cadawV, existen escalares únicos 1, 2,...,n tales que w=1v1+2v2+...+nvn.


La existencia es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v1, v2,...,vn; es decir,

w =1v1+2v2+...+nvn = 1v1+2v2+...+nvn,entonces,

(1-1)v1 + (2-2)v2 +...+ (n-n)vn= 0 y como v1, v2,...,vn son l.i.

entonces 1 = 1, 2 = 2,..., n = n.

Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B. Precisando más, tenemos la siguiente


DEFINICION 1:

Sea como antes B={v1, v2,...,vn} una base de V y wV tal que w=1v1+2v2+...+nvn . Las coordenadas de w conrespecto a la base B son 1, 2, ...,n y lo escribiremos así:
[w]B=( 1, 2,...,n).



Observaciones:

 si B={(1,2),(0,1)} entonces
[(2,7)]B= (2,3) porque (2,7)=2(1,2)+3(0,1)

 si C={(0,1),(1,2)} entonces
[(2,7)]C= (3,2) porque (2,7)=3(0,1)+ 2(1,2)

Es decir, [w]B no solo cambia cuando la base cambia, también depende del ordende los elementos en B. Por lo tanto, para definir con precisión las coordenadas de un vector w con respecto a una base B, pediremos que la base B sea una base ordenada.

EJEMPLO 1:

Si S es la base canónica de 3, como (2,-3,4) = 2(1,0,0)-3(0,1,0)+4(0,0,1) entonces [w]S=(2,-3,4) = w. Es decir, los vectores en n se denotan por sus coordenadas en la base canónica.

Los resultadosobtenidos en el ejemplo anterior, nos permiten concluir que si w=(2,-3,4) y tomamos B={(1,0,-1),(-1,1,0),(1,1,1)} como base de 3, entonces

Ahora estudiaremos cómo cambiar de una base B a otra C y encontraremos la matriz asociada a ese cambio debase.

Consideremos S, la base canónica en 2 y B={u,v}={(1,1),(1,2)} otra base.

Sea w=(x,y) un vector en 2 eso significa que w=x(1,0)+y(0,1). Como Bes una base, queremos encontrar las coordenadas de w con respecto a esa base, es decir, encontrar , tales que w=u+v=(1,1)+(1,2), lo que implicaría que [w]B=(,).

Además queremos explorar la relación entre (x,y) y (,).

Para encontrar (,), escribimos la base canónica como combinación lineal de la base B, es decir, (realice las cuentas)




(1,0) = 2(1,1)-1(1,2) y(0,1) = -1(1,1)+1(1,2),

sustituyendo en w = x(1,0)+y(0,1) 

w = x(1,0)+y(0,1) = x {2(1,1)-1(1,2)}+y{-1(1,1)+1(1,2)} 

w = (2x-y)(1,1)+ (-x+y)(1,2) = (2x-y)u + (-x+y)v 

=2x-y y =-x+y de dónde
[w]B = [ [e1]B [e2]B ] * [w]S

es la matriz cambio de base de la base S a la base B porque esa es la acción que realiza.


En efecto [w]B=A[w]S

DEFINICION 2:...