Espacios Vectoriales

Matem´ticas I. Grado en ADE a

Tutor´ de Matem´ticas I Grado en ADE ıa a
M´nica Buend´ Capell´ o ıa a
Centro Asociado Andr´s Manj´n. UNED e o

Curso Acad´mico 2010/11 e

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Tema Tema Tema Tema Tema

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Espacios vectoriales Aplicaciones lineales Matrices Sistemas deecuaciones lineales Sucesiones de n´meros reales u

Conceptos previos. Conjuntos de n´meros. Ley de u composici´n interna y externa o
N´meros naturales: N: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . u N´meros enteros: Z: 0, 1, −1, 2, −2, . . . u N´meros racionales: Q. Las fracciones p/q, donde p y q son u n´meros enteros y q = 0. u N´meros irracionales: no se pueden expresar como como un ucociente de n´meros enteros. u N´meros reales R: n´meros racionales e irracionales. u u Una ley de composici´n interna definida sobre E , es una o aplicaci´n de E × E en E . o Una ley de composici´n externa definida sobre E para K es o una aplicaci´n de K × E en E . o
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Conceptos previos. Grupo abeliano

Un grupo (E , ∗) es un conjunto no vac´ E dotado de una ley de ıo composici´n interna ∗ que verifica: o es asociativa: ∀a, b, c ∈ E , es simetrizable: ∀a ∈ E a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; a ∗ e = e ∗ a = a; a ∗ a = a ∗ a = e.a ∗ b = b ∗ a, posee un elemento neutro e: ∀a ∈ E ∃a ∈ E ,

Si la operaci´n es, adem´s, conmutativa: ∀a, b ∈ E , o a entonces del grupo es conmutativo o abeliano. Ejemplos: (Z, +), (R, +), (R2 , +).

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(R2 , +) es un grupo abeliano
La operaci´n adici´n sobre R2 verifica o o es asociativa: todos los pares de n´meros reales u (a, b), (c, d), (e, f ) verifican (a, b) + (c, d) + (e, f ) = (a, b) + (c, d) + (e, f ); posee un elemento neutro (0, 0) + (a, b) = (a, b) + (0, 0) = (a, b). es simetrizable: (a, b) + (−a, −b) =(−a, −b) + (a, b) = (0, 0) es conmutativo: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) Ejercicio: ¿Es (R, ·) un grupo abeliano?

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Conceptosprevios. Cuerpo conmutativo
Un cuerpo (K, +, ·) es un conjunto K dotado de dos leyes de composici´n internas + y · que verifican: o (K, +) es un grupo abeliano. El elemento neutro se denota 0 y el sim´trico de α (se denota −α) se llama opuesto de α. e La operaci´n · es asociativa, tiene un elemento neutro distinto o de 0 (que se denota 1), y todo elemento α de K distinto de 0 tiene un sim´trico(que se denota: α−1 , o tambi´n: 1/α, y se e e llama inverso de α). La operaci´n · es distributiva respecto de la operaci´n +, esto o o es, se verifica ∀(a, b, c) ∈ Ka · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = a · c + b · c. Si la operaci´n · tambi´n es conmutativa, del cuerpo (K, +, ·) se o e dice es conmutativo. Ejemplo: (R, +, ·).
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Definici´n de Espacio Vectorial o

Un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (K, +, ·), es un conjunto E dotado de una ley de composici´n interna + que lo o articula como grupo...