espacios vectoriales

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para la Educación
I.U.T .Antonio José de Sucre
Carrera: Informática




















Ciudad Bolívar, Mayo del 2013
Espacios vectoriales

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para loselementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), sus miembros se llaman escalares con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos seremontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación condos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827

Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo delos números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:


Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

Y la operación producto por un escalar:Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6)  sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:


Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar elproducto del cuerpo.
 es un espacio vectorial de dimensión uno sobre.
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su sub-cuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
 es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre.
 es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre.
Grupos
Sea G un conjunto no vacio, y sea ∗ una operación interna definida en G. Se dice
Que (G,∗) es un grupo, sise cumplen las siguientes propiedades:
1. Asociativa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ G.
2. Elemento neutro: ∃e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G.
3. Elemento opuesto: ∀a ∈ G, ∃a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e

Normalmente, la operación interna ∗ será la suma o el producto de elementos. En la Notación aditiva, el elemento neutro se denota 0, y el elemento opuesto a a se denota −a.En la notación multiplicativa, el elemento neutro se denota 1, y el elemento opuesto a, Que en este caso se llama
El inverso de a, se suele denotar, o bien

Sea (G,∗) un grupo. Se dice que G es conmutativo o abeliano si, además de las
Propiedades de grupo, verifica la siguiente:
4. Propiedad conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G.

Algunos ejemplos de grupos son los siguientes:
(Z, +),(Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos aditivos.

(Q\ {0}, ·), (R\{0}, ·) y (C\{0}, ·), donde · se refiere al producto, son grupos
Abelianos multiplicativos.

El conjunto de matrices m × n con entradas en un cuerpo K (ahora veremos la Definición de cuerpo), junto con la suma de matrices, es un grupo abeliano aditivo.

El conjunto de matrices cuadradas n × n no singulares con...