Espacios vectoriales

INDICE
Definición de grupo vectorial 2
Definición de espacio vectorial 2
Teorema sobre subespacios 3
Bases y dimensiones de un vector 4
Teorema sobre dimensión de un espacio6
Teorema de combinaciones lineales 6
Vectores lineales independientes y vectores dependientes 7
Suma de subespacios 8
Teorema de diagonalizacion 9
Bibliografía 10

 
Espacios vectoriales
Definición de grupo
Grupo Sea el par (A , ) , donde Aes un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria :
(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:
a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A
b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .
Es decir , /
Definición de espacio vectorialsobre un cuerpo lineal
Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, si dadas dos operaciones: suma vectorial definida en V, se denota v + w para todo v,w de V, y producto escalar en V, se denota a * v para todo v de V y a de K, si cumple las siguientes 10 propiedades para todo a, b de K y u, v y w de V:
1. v + w pertenece a V. La suma vectorial es una operación cerrada en V.
2 u+ (v + w) = (u + v) + w. Asociatividad de la suma vectorial en V.
3 Existe un elemento 0 en V tal que para todo v de V, v + 0 = v. Existencia del elemento neutro de la suma vectorial en V.
4 Para todo v de V, existe un elemento -v en V, tal que v + (-v) = 0. Existencia del elemento opuesto respecto a la suma vectorial en V.
5 v + w = w + v. Conmutatividad de la suma vectorial en V.
6 a*vpertence a V. El producto escalar es una operación cerrada en V.
7 a*(b*v) = (a*b)*v. Asociatividad del producto escalar en V.
8 Si 1 denota el elemento neutro de la multiplicación del campo escalar K, entonces 1*v = v. Neutralidad del uno del campo escalar.
9 a*(v + w)=a*v + a*w. Distributividad con respecto a la suma vectorial.
10 (a + b)*v = a*v + b*v. Distributividad con respecto a lasuma escalar.
Las propiedades de la 1 a la 5 indican que V es conmutativo o Abeliano bajo la suma vectorial.
De las propiedades anteriores, se puede probar inmediatamente las siguientes formulas útiles:
a*0 = 0*v = 0
-(a*v) = (-a)*v = a*(-v)
Para todo a de K y v de V.
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. El concepto de vector en un espacio vectorial escompletamente abstracto como los conceptos de Grupo, Anillo, y Campo Escalar. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial se debe especificar el conjunto V, el campo escalar K y definir la suma vectorial y el producto escalar en V. Entonces si V satisface las 10 propiedades anteriores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. (pendiente...)
Teoremas sobre subespacios
Definición Sean (V, +,K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.
TEOREMA 4.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemosextraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.
TEOREMA 4.2 Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S0 Í b con exactamente n - m elementos de forma tal que L(S È S0) = V.
Como consecuencia del teorema I.2 tenemos el siguiente...