Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales
1.

Demuestre que  con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.

2.

Considere el conjunto C de los números complejos con la suma usual.
a) Para la multiplicación por escalar    :  (a  bi)  a  bi , demuestre que
C es un espacio vectorial real.
b) Para la multiplicación por     i  C :  (a bi)  (a  b)  (b  a)i ,
demuestre que C es un espacio vectorial complejo.

3.

Demuestre que en un espacio vectorial V sobre K se verifica:
a)   0V  0V ,   K
b) 0  v  0V ,  v  V
c) v  0  (  0  v  0)

4.

Demuestre que 2 no es un espacio vectorial sobre  cuando se considera la suma y
el producto por escalar definidos como sigue:

x, y  x' , y'  x x' , 0
 x, y  x, 0
5.

Considere el conjunto  y las siguientes operaciones
x  y  x  y, para x, y   ,
  x  x  ,   , x  
1 1
 ,
2 4

3
 7 y -3  6  2,
5

a)
b)
6.

Evalúe

Demuestre que IR  con estas operaciones es un espacio vectorial real.

Sea V     . En V se define la suma y la multiplicación por escalar real así:

x, y  x' , y' xx ' ,





yy'

 x, y  x  , y ,   

a) Determine v + 3w y 2v – 3w para v = (1, 2)

y w = (2, 1).

b) Demuestre que V con las operaciones así definidas es un espacio vectorial real.
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Universidad Diego Portales – Instituto de Ciencias Básicas – Ingeniería Civil

1

c) Encuentre ,   tales que 1, 3   2, 2   3, 1 .
7.

2 con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no
es un espacio vectorial sobre  ; indique por qué.

x, y  a, b  x  a, 0 ,
8.

 x, y   x , y , con   

2 con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no
es un espacio vectorial sobre  ; indique por qué.x, y  a, b  x  a, y  b ,
9.

 x, y   x, y , con   

Establezca si los siguientes conjuntos V son o no espacios vectoriales reales.
a) V 

x, y  2 / x  y  con la suma y multiplicación por escalar habituales de

2 .

b) V  3 con la suma habitual de 3 y la multiplicación por escalar
x, y, z   x, 0, z  .
1 a
c) V  { 
 b 1  / a , b  }con la suma y multiplicación por escalar usuales en



M2  .

d) V  {ax  ax 2 / a  } con la suma y multiplicación por escalar usuales de
P2 x .
e) V  { f :  a, b  IR / f es derivable en  a, b  } con la suma y multiplicación
por escalar usuales de las funciones reales.
10. Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que V y
de V.

 0v  son subespacios

11.Averigüe si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de 3 .



W  x, y, z   3 / x  y  0  z  1 
W  x, y, z   3 / x  y  z 
W  a, b, c  3 / a  b  c 

W   a, b, c  3 / a  Q

W   x, y, z   3 / x  2y  z  0  x  y  2z  0 

a) W  x, y, z   3 / x  y  2z  0
b)
c)
d)
e)
f)___________________________________________________________________________________
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2

12. Decida si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de Mn  .
Justifique sus afirmaciones.
a) W  A  M n  / A es diagonal 
.
b) W  A  Mn  / A es invertible
.
c) W  A  Mn  / A es antisimétrica 
.



d) W  A  Mn  / A2  In .

e) W  A  Mn  / tr A  0
.





13. Sea A matriz real de orden mxn. Demuestre que U  X  n / AX  0 es un
subespacio de n .
14. Determine si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales de P2 x  . En
caso de serlo, demuéstrelo.



W   a  bx  cx 2  P2 x / a  b  c  1 
W   a  bx  cx 2  P2 x  / a  2b...