espacios vectoriales

Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Capítulo 2: Espacios Vectoriales
2.0.- Introducción.
2.1.- Espacios Vectoriales.
Subespacios Vectoriales.
2.2.- Combinaciones Lineales. Espacio Generado.
Dependencia Lineal. Base y Dimensión.
2.3.- Espacios con Producto Interno.
2.4.- Ortogonalización.

1

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2.0.- Introducción.
Puntos del plano

2

A

(a1 , a2 )

Vectores de Posición
en el plano
a

y

A

a

 a1 , a2 

x

2

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y

Adición:
a  b  Suma de los vectores a y b
b

ab
a

x

Multiplicación por Escalar:
ka  Producto del escalar k por el vector a

y
3a
3
a
42a

a

x
3

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2

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con estas operaciones cumple:

1)(a  b)  c  a  (b  c)
2)a  b  b  a
3)a  0  a
4)a  (a)  0

5)k (l a)  (kl )a
6)k (a  b)  ka  kb

7)(k  l )a  ka  la
8)1 a  a

Cualquier conjunto de objetos
que se puedan sumar, multiplicar por
números reales (escalares) y quecumplen
estas 8 propiedades será un:
ESPACIO VECTORIAL
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con las operaciones, de suma de vectores y producto por
escalar, cumple con las mismas 8 propiedades de espacio

3

vectorial.





z

: Plano determinado por
los vectores a y b

C
b

c
b

a

C 

a

y

x

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- Dado un punto C del plano  éste determina un vector de
posición c.
- Se expresa: c   a   b , o sea es una COMBINACIÓN LINEAL
de a y b.
- Para todos los puntos del plano 
ocurre ésto, por eso se dice
que el plano  está generado por los vectores a y b.
se anota:   a, b 
- El conjunto   a, b sellama base de  , pues a partir de estos
dos vectores pueden formarse todos los puntos del plano  ,
haciendo combinaciones lineales con coeficientes reales y además
ninguno de los vectores a y b es múltiplo del otro.
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z
d

D

L

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L recta determinada
por el vector a

a

y

x
-Dado un punto D, de larecta L, éste determina un vector de
posición d , que se expresa d   a.
- L está generado por el vector a , o sea :
y

a

L a

es base de L.
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pero a su vez ellos son espacios
vectoriales, pues cumplen las 8 propiedades anteriores. Se dirá que:
3
 y L son Subespacios Vectoriales de
.

 y Lson subconjuntos de

3

En el plano  se tenía que: c   a   b
Es decir:  a   b  (1)c  0...(*)
Entonces diremos que

a, b, c es un subconjunto

Linealmente Dependiente (L.D), pues existe dependencia
lineal entre ellos,

expresada por la ecuación(*).

Si no existe tal dependencia se dirá que el conjunto de
vectores es Linealmente Independiente (L.I).
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Si a y b son colineales y están

y

L

contenidos en L.

b

Entonces:

a

x
B1 

a ,

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L  a 
L  b 
L  a , b 

  son bases de L, pero

B2  b





B3  a, b

no es base, pues aunque genera a L, es L.D.



Z

a

y

x

está contenido en 
entonces: a es L.I
pero no esbase de  ,
ya que no lo genera:
a  
Si a

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- En 2 , el conjunto i, j donde i  (1, 0), j  (0,1)
2
 a  (a1 , a2 ) 
, se cumple:
es una base, pues:

a  (a1 , a2 )  (a1 , 0)  (0, a2 )  a1 (1, 0)  a2 (0,1)

a  a1 i  a2 j
O sea i, j genera a

 
i, j

2

y además i,

se...