Espacios Vectoriales

Estructura de Grupo

Sea una estructura algebraica formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por "o". Se dice quela estructura es un grupo con respecto a la operación si satisface las siguientes propiedades:
1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultadosiempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambieel orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir:

3. Con elemento neutro: Para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un único elemento e de A, que cumple:4. Con elemento simétrico respecto de la operación , si se cumple:

Si además se cumple la propiedad conmutativa:
1. Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto ala operación interna si:

Estructura de Espacio Vectorial sobre el Cuerpo Real
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjuntono vacío, dotado de dos aplicaciones:
Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir4) tenga elemento opuesto, es decir

Operación externa tal que:
a)
b)
c)
d)
Los elementos de se llaman escalares.
Los elementos de se llaman vectores.

Teoremas sobre los EspaciosVectoriales
TEOREMA 1
Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no unsubespacio de V, es suficiente verificar que
x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.
Lo anterior dice que:
Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.
TEOREMA...