Espacios Vectoriales

2 Espacios vectoriales

2.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V = ∅ sobre el que hay definidas dos operaciones:

1. Suma:

+ : V × V −→ V
(u, v) −→ u + v

verificando las siguientes propiedades:

(a) Conmutativa: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V .
(b) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V .
(c) Elemento neutro:Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V .
(d) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0

2. Producto por un escalar:

· : K × V −→ V
(λ, u) −→ λ · u

verificando las siguientes propiedades:

(a) 1 · u = u, ∀u ∈ V .
(b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V .
(c) (λ + µ) · u = λ · u + µ · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V . (d) λ · (u + v) = λ · u+ λ · v, ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V .

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.
Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los nu´meros reales.
Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusi´on se omitir´a el punto (·) en la operaci´on producto por escalar.

Ejemplos

Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, lossiguientes:

1. El conjunto de n-uplas de nu´meros reales:

Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) = (xi)1 i

n : x

∈ R, 1 ≤ i ≤ n}

con las operaciones:

≤ ≤ i

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
λx = (λx1, λx2, . . . , λxn)

2. El conjunto de matrices de dimensi´on n × m:
. .

Mn×m(R) =

A = (aij ) 1≤i≤n
1≤j≤m

: aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

con las operaciones:suma de matrices y producto por nu´meros reales.

3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:

P (R) =

. n .
. ak xk : n ∈ N, ak ∈ R
k=0

con las cl´asicas operaciones de suma y producto por nu´meros reales.

4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado menor o igual que n:

Pn(R) =

con lasmismas operaciones anteriores.

. n .
. ak xk : ak ∈ R
k=0

5. El conjunto de todas las funciones reales:

F (R) = {f : R −→ R}

con las operaciones: suma de funciones y producto por nu´meros reales.

6. El conjunto de todas las sucesiones de nu´meros reales:

n=0
S = {(xn)∞

: xn ∈ R, n ≥ 1}

con las operaciones: suma de sucesiones y producto por nu´meros reales.

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7. Si Z2= {0, 1}, entonces Zn es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2, con las operaciones:

0 + 0 = 1 + 1 = 0 , 0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0 , 1 · 1 = 1

2.2 Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces

1. 0 · u = 0.

2. (−1) · u = −u. para todo u ∈ V .

2.3 Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquiersubconjunto no vac´ıo
S ⊂ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .

2.4 Caracterizaci´on de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces
.(1) u + v ∈ S, ∀u, v ∈ S

S es subespacio vectorial de V ⇐⇒

Demostraci´on:
(⇒) Evidente, pues S es espacio vectorial.

(2) λu

∈ S,

∀λ ∈ K y

∀u ∈ S

(⇐) (1) y (2)garantizan que las operaciones est´an bien definidas sobre S, al ser ´este un conjunto
cerrado respecto de ellas. Adem´as, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas las
propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto de cualquier elemento de S est´a en S. Ahora bien, para cualquier u ∈ S,

0 = 0 · u ∈ S y − u = (−1) · u ∈ S

luego S es unsubespacio vectorial de V .

2.5 Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces

S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S , ∀λ, µ ∈ K , ∀u, v ∈ S

Ejemplos

1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespa- cio trivial.

2. Sea F (R) = {f : R −→ R} el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespacios...