Espacios Vectoriales

República Bolivariana de Venezuela
Universidad Rafael Urdaneta
Facultad de Ingeniería
Algebra Lineal
Profesor: Gines Alarcón

Espacios Vectoriales

Autores:
Chirinos, Roberth
Cuabro, Orlando
Mujica, José
Rincón, Celeste

Maracaibo, 18 de Noviembre de 2012
1,_Espacio vectorial (definición y ejemplo)
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores yotra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por .
Ejemplo:
Suma de vectores:

Multiplicación de un escalar por unvector:

2._ Propiedades básicas de un espacio vectorial (10 axiomas y 3 ejemplos)
Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:
A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

A2)Para cualquiera dos vectores u y v en V

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:

En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre elmismo.

A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:

Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.
A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V ysimbolizado por −u que cumple.

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.
M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
El resultadodel producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismorealizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.
M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.
M4) Para cualquier vector u ∈ V y paracualquiera dos escalares a y b en R se cumple

Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.

M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple

Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos es que esconveniente y elegante llamarlos por su descripción.
Ejemplos:
Propiedad asociativa.

Propiedad Conmutativa

Propiedad Distributiva respecto a la suma de vectores:

5(4+5)= (5)(4) + (5)(5) = 45
3._ Combinaciones lineales y vectores linealmente independientes (2 definiciones y 2 ejemplos )
Vectores independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser...