espacios vectoriales

´
Algebra
Lineal V: Subespacios Vectoriales.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Subespacios vectoriales.

Definici´
on de subespacios vectoriales. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un
subconjunto W ⊆ V, se dice que es un subespacio deV, denotado por W < V , si W , junto con las
operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalar, definidas en V, es, por si s´olo, un espacio vectorial,
sobre el mismo campo K.
Teorema. Sea V un espacio vectorial, sobre un campo K. Un subconjunto W ⊆ V, es un subespacio
de V, denotado por W < V, si y s´olo si:
1.

El subconjunto W est´a cerrado respecto a la operaci´on de adici´on. Es decir
w1+ w2 ∈ W

2.

∀ w1 , w2 ∈ W

El subconjunto W est´a cerrado respecto a la operaci´on de multiplicaci´on escalar.
λw1 ∈ W

∀λ ∈ K y

∀ w1 ∈ W.

Prueba: Primero probaremos que si un subconjunto W ⊂ V es un subespacio de V; es decir, W < V
entonces debe satisfacer las dos propiedades. Suponga que W < V, es un subespacio de V, entonces por
definici´on W es un espacio vectorial sobre el campo K. Porlo tanto, W debe estar cerrado respecto a
las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalar.
Suponga ahora que un subconjunto W ⊂ V satisface la clausura respecto a la adici´on y la multiplicaci´on
por escalar, entonces se probar´a que W < V. Puesto que W ⊂ V entonces se satisfacen las siguientes
propiedades de las dos operaciones
1.

La adici´on es asociativa.
w1 + (w2 + w3 ) = (w1 + w2 )+ w3 ,

2.

La adici´on es conmutativa
w1 + w2 = w2 + w1 ,

3.

∀ w1 , w2 ∈ W

La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la adici´on vectorial.
k(w1 + w2 ) = k w1 + k w2

4.

∀ w1 , w2 , w3 ∈ W

∀ k ∈ K,

y w1 , w2 ∈ W.

La multiplicaci´on escalar es distributiva respecto a la adici´on de escalares.
(k1 + k2 )w = k1 w + k2 w
1

∀ k1 , k2 ∈ K,

y w ∈ W.

5.

La multiplicaci´onescalar es pseudoasociativa.
(k1 · k2 )w = k1 (k2 w)

6.

∀ k1 , k2 ∈ K

∀ w ∈ W.

Propiedad del id´entico multiplicativo del campo. Si 1 ∈ K es el id´entico multiplicativo, se tiene que
1w = w

∀w ∈ W.

7.

Puesto que W est´a cerrado respecto a la multiplicaci´on por escalar, 0 ∈ K y se sabe que 0w =
0, ∀w ∈ W, entonces 0 ∈ W y W contiene al id´entico aditivo.

8.

Si 1 es el id´entico multiplicativodel campo K, se tiene que
1 + (−1) = 0
Por la clausura del conjunto W respecto a la multiplicacion por escalar
(−1)w ∈ W

∀ w ∈ W.

Adem´as, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaci´on por escalar respecto a la adici´on,
se tiene que
[1 + (−1)]w = w + (−1)w = 0w = 0 ∀w ∈ W
Por lo tanto (−1)w es el inverso aditivo de w ∈ W y W tambi´en contiene los inversos aditivos.
Por lo tanto, laclausura respecto a la adici´on, junto con las incisos 1, 2, 7 y 8 prueban que W es
un grupo aditivo respecto a la adici´on. Finalmente, la clausura respecto a la multiplicaci´on por escalar,
junto con los incisos, 3, 4, 5 y 6 completan la prueba que W < V.
Nota. Es importante notar que todo espacio vectorial V tiene dos subespacios impropios, el
primero es el subespacio formado por el vector 0,exclusivamente; es decir {0} y el restante es el propio
espacio vectorial V.
Teorema. Una condicion necesaria, pero no suficiente, para que un subconjunto W ⊂ V sea un
subespacio de V, es que 0 ∈ V sea tambi´en un elemento de W.
Prueba: Por definici´on, W ⊂ V es un subespacio de V si W por si s´olo es un espacio vectorial. Por
lo tanto, 0 debe estar contenido en W ; es decir 0 ∈ W .
Teorema. Elconjunto soluci´on de una ecuaci´on lineal con n inc´ognitas sobre un campo K es un
subespacio de Kn si, y s´olo si, la ecuaci´on es homogenea.
Prueba: Considere una ecuaci´on lineal homogenea con n inc´ognitas sobre un campo K
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0,
y sea xs = (x1s , x2s , . . . , xns ), ys = (y1s , y2s , . . . , yns ) ∈ Kn dos soluciones arbitrarias de la ecuaci´on lineal
homogenea,...