Espacios Vectoriales










































ESPACIOS VECTORIALES


1) Definición de espacio vectorial, subespacios de un espacio vectorial, conjunto generador e independencia lineal.

Espacio vectorial: un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a consta de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma) y una operación externa (llamada producto por un escalar), con 8propiedades fundamentales.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos laspropiedades, siempre sería un espacio vectorial.

Subespacio: Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. entonces se die que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

Conjunto generador: Se diceque los vectores v1, v2…, vn en un espacio vectorial v generan a v si todo vector en v se puede escribir como una combinación lineal de ellos. Es decir, para todo v V, existen escalares a1, a2...., an tales que

v = a1v1 + a2v2 +…+ anvn

Ejemplos: conjunto de vectores que generan R2 y R3 se ve que los vectores i = y j = generan R2. También se ve que i = y j = y k =generan R3

Independencia Lineal: en el estudio del álgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

¿Existe una relación especial entre los vectores v1 = y v2 = ? Por su puesto, se veque v2 = 2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera,

2v1 – v2 = 0 (1)

Es decir, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero) ¿Qué tienen de especial los vectores v1 = , v2 = y v3 = ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a primera vista.Sin embargo, es sencillo verificar que v3 = 3v1 + 2v2;

3v1 + 2v3 – v3 = 0 (2)


Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2 y v3. Parece que los dos vectores en la ecuación (1) y los tres vectores en la ecuación (2) tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores o una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se diceque los vectores son linealmente dependientes. En general, se tiene la siguiente definición importante.

Dependencia e independencia lineal, sean v1, v2…, vn, n vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …., cn no todos cero tales que

C1v1 + c2v2+ …+cnvn = 0 (3)

Si los vectores no sonlinealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra manera, v1, v2, …, vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple sólo para c1 = c2= … = cn =0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2,…, vn con coeficientes no todos iguales a cero.

NOTA: se dice que los vectoresv1, v2,…,vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1,v2,…,vn} es linealmente independiente (o dependiente), esto es, si se usan las dos frades indistintamente.


2) Base y Dimensión

BASE Y DIMENSIÓN:

Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente....