estadistica

Formulario de Estad´
ıstica I
Tema 1 Consideramos una muestra de tama˜o n de una variable X . Sean x1 , x2 , . . . , xk , k ≤ n, los
n
diferentes valores que ha tomado esta variable sobre los n individuos de la muestra. Si X es cuantitativa o
categ´rica ordinal, supondremos que tenemos los valores ordenados de manera que x1 < x2 < . . . < xk .
o
• Se denota por ni la frecuencia absolutadel valor xi . Se cumple que

k
i=1 ni

= n.

• Se define la frecuencia relativa del valor xi como fi = ni /n. Se verifica que k=1 fi = 1.
i
• Se define la frecuencia absoluta acumulada del valor xi como Ni = i =1 nj .
j
• Se define la frecuencia relativa acumulada del valor xi como Fi = Ni /n. Se cumple que Fi =
i
j =1 fj .
• Cuando los datos est´n agrupados en intervalos de clase,llamamos li−1 y li a los extremos inferior
a
y superior, respectivamente, del intervalo i-´simo.
e
• La longitud o amplitud del intervalo i-´simo es Li = li − li−1 .
e
l
• La marca de clase del intervalo i-´simo es xi = li +2i−1 .
e

Tema 2 Las f´rmulas de las siguientes medidas num´ricas est´n expresadas considerando la muestra origo
e
a
inal, es decir, los n valores observados para X sonx1 , x2 , . . . , xn . La muestra ordenada se denota por
x(1) , x(2) , . . . , x(n) .
Medidas de centralizaci´n o de tendencia central:
o
n
1
i=1 xi .
n
1
(x( n ) + x( n +1) ),
2
2
2

• Media aritm´tica: x =
e
• Mediana:

Me =

x( n+1 ) ,
2

si n es par,
si n es impar.

la
la
la
la
la

frecuencia
frecuencia
frecuencia
frecuencia
frecuencia

relativa del par(xi , yj ) como fij = nij /n.
absoluta marginal del valor xi como ni• = m nij .
j =1
relativa marginal del valor xi como fi• = ni• /n.
absoluta marginal del valor yj como n•j = k=1 nij .
i
relativa marginal del valor yj como f•j = n•j /n.

Caracter´
ısticas num´ricas conjuntas para tablas de doble entrada.
e
Sean (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) los n pares de valores observadospara (X, Y ). Entonces:
• Covarianza:

sxy =

1
n−1

n
i=1

( x i − x ) ( yi − y ) =

• Coeficiente de correlaci´n lineal de Pearson:
o

1
n−1

r(x,y) =

n
i=1
sxy

x i yi − nx y

sx sy

Tema 4 Sea Ω el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio, B1 , . . . , Bk una partici´n de Ω,
o
tal que P (Bi ) = 0 para i = 1, . . . , k y A un suceso cualquiera.
•Ley de la probabilidad total:
P (A) = P (A ∩ B1 ) + . . . + P (A ∩ Bk ) = P (A|B1 ) P (B1 ) + . . . + P (A|Bk ) P (Bk ).

Medidas de dispersi´n o de variabilidad:
o
• Rango o amplitud: R = xmax − xmin .
• Rango intercuart´
ılico: RIC = Q3 − Q1 .
1
• Varianza muestral: σ 2 = n n (xi − x)2 =
ˆ
i=1

P ( A| B j ) P ( B j )
P ( B j ∩ A)
=
,
P ( A)
P ( A| B 1 ) P ( B 1 ) + . . . + P (A| B k ) P ( B k )

para j = 1, . . . , k.

Esperanza y varianza de una variable aleatoria.
Sea X una v.a. que toma valores en un conjunto S . La esperanza y varianza de X se definen como:


x P (X = x), si X es una v.a. discreta,


x∈ S
E( X ) =


x f (x) dx,
si X es una v.a. continua.


• Cuartiles: Qk = x(k(n+1)/4) para k = 1, 2, 3.
• Percentiles: Pk = x(k(n+1)/100)para k = 1, 2, . . . , 99.

S

1
n

n
2
i=1 xi

√
• Desviaci´n t´
o ıpica (o est´ndar) muestral: σ = σ 2 .
a
ˆ
ˆ
n
2= 1
• Cuasivarianza muestral: s
( xi − x) 2 =
i=1
n −1
√
• Cuasidesviaci´n t´
o ıpica muestral: s = s2 .
• Coeficiente de variaci´n de Pearson: CV = s/|x|.
o

− nx 2 .

1
n −1

n
2
i=1 xi

var(X ) =
− nx 2 .

i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , m,sobre los n individuos de una muestra. Supondremos que los datos est´n ordenados
a
de manera que x1 < x2 < . . . < xk , y1 < y2 < . . . < ym , a menos que las variables sean categ´ricas nominales.
o
Tabla 1: Estructura de la tabla de doble entrada / tabla de contingencias
...
...
...
.
.
.
...
.
.
.
...
...

yj
n1j
n2j
.
.
.
nij
.
.
.
nkj
n•j







...