ESTADISTICA

TEOREMA DE GREEN

Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.








Curva cerrada y simple: Sea C una curva suave definida por una función vectorial : [a, b] . Se dice que es cerrada si (a)= (b), Si además es uno a uno en (a, b), C es cerrada y simple.

Una curva cerrada queno es simple: C es cerrada si: (a)= (b) no es uno a uno en [a, b), C se corta a si misma, C no es simple.

TESIS DEL TEOREMA DE GREEN




Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar ladiferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva.




TEOREMA DE STOKES

Es una generalización del teorema de Green ya que relaciona la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada que es borde de una superficie paramétrica simple con la integral de su rotacional en dicha superficie, y también el teorema de Gauss de la divergencia, que puede versecomo una versión tridimensional del teorema de Green, al relacionar la integral de un campo vectorial en una superficie cerrada que es borde de un solido tridimensional con la integral de su divergencia en el interior de dicho solido.
Para enunciar el teorema de Stokes para superficies en R³ necesitamos definir lo que es el rotacional de un campo vectorial. Si F: A R³ es un campo vectorialde clase C¹ definido en un abierto A de R³, se define el rotacional del campo F = (P, Q, R), y se denota por rotF , como

i j k
rotF = ∂ ∂ ∂ = ∂R ∂Q i + ∂P ∂R j + ∂Q ∂P k ∂ x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
P Q R






















ENSAYO ACERCA DEL TEOREMA DE GREEN Y EL TEOREMA DE STOKES Y SUAPLICACION EN LA INGENIERIA

El teorema de Green toma este nombre debido al científico inglés autodidacta George Green. Como bien sabemos el teorema de Green, no es de fácil demostración, pero si es posible darla; claro que en casos especiales donde la región es tanto del tipo I y del tipo II.
Citare ejemplos donde se puede demostrar el teorema de Green.
Demostrar el teorema de Green para el casoque D es una región simple.


1. dA


2. dA

Con estos casos se demostrara la ecuación 1 expresando D como una región de tipo I
D = 
Donde g₁ y g₂ son funciones continuas. Esto permite que se calcule la integral doble del segundo miembro de la ecuación I como a continuación seexpresa:

Donde del último paso de infiere del teorema fundamental del cálculo.
Ahora se utilizara el teorema de Green para calcular el área encerrada por la elipse de ecuación

Como la elipse encierra una región a la que se aplica el teorema de Green, entonces el área encerrada por la elipse viene dada por:  siendo C la curva cerrada por la elipse. Una representación paramétrica para laelipse es:
X = a cos t
Y = a sen t, t ε 

De donde resulta dx = - a sen tdt, dy = b cos tdt. Por tanto, el área buscada es:






Ahora, mencionando el teorema de Stokes que es la versión tridimensional de la fórmula de Green que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial, en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.
Podemosexplicar un poco más el teorema de Stokes de la siguiente manera:
Sea S = r (D) una superficie paramétrica simple y regular descrita por una aplicación r de clase C², donde D ʗ R² está limitado por una curva cerrada, simple, C¹ y recorrida en sentido positiva.
Sea = r ₒ , es decir (t) = r ( (t)), la curva que limita a la superficie S.
Sea F = (P, Q, R): U ʗ R³ → R³ un campo...