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Capítulo 6

SUCESIONES Y SERIES. SERIES DE TAYLOR
Estamos aquí interesados en sucesiones y series cuyos términos son números complejos, con la intención de extender nociones que son conocidas en el campo de los números reales. En particular, analizaremos la posibilidad de obtener desarrollos en serie de potencias para funciones que sean analíticas en ciertos conjuntos. 1. Sucesiones complejasDefinición 6.1. Una sucesión compleja es una función z de los naturales en C. Designamos por zn al n–ésimo término de la sucesión (es decir, a la imagen de n a través de la función z) y por {zn }n∈N (o, más brevemente, {zn }) a la sucesión completa. El campo de variabilidad de la sucesión {zn } es {w ∈ C : ∃n ∈ N : zn = w}, es decir, el conjunto de valores que toma la sucesión. Una sucesión sedice acotada si su campo de variabilidad es un conjunto acotado. Si E ⊂ C y {zn } tiene campo de variabilidad contenido en E, entonces decimos que {zn } es una sucesión en E. Decimos que una sucesión {zn } es convergente si existe un número L ∈ C con la propiedad de que ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, |L − zn | < ε. En ese caso, decimos que la sucesión converge hacia L, o que L es el límite de {zn }, yescribimos l´ n→∞ zn = L. ım Una sucesión {zn } diverge a infinito (l´ n→∞ zn = ∞) si ∀K ∈ R, ∃N ∈ N : ∀n ≥ ım N, |zn | > K. Si zk está definido al menos para todo k ≥ n0 , la expresión {zn }n≥n0 , con n0 no necesariamente 0, equivale naturalmente a la sucesión {zn+n0 }n∈N . Observemos que decir que l´ n→∞ zn = L ∈ C es equivalente a decir que l´ n→∞ |L − zn | = ım ım 0 (convergencia de sucesión denúmeros reales). Teorema 6.2. Sea {zn } una sucesión compleja, y L ∈ C. 1. {zn } converge hacia L si, y sólo si, cualquier entorno de L contiene a todos los términos de la sucesión, salvo una cantidad finita de ellos. 2. Si {zn } converge, su límite es único. 3. Si {zn } converge, es acotada. Demostración. 1. Supongamos primero que l´ n→∞ zn = L. Sea r > 0. Existe N tal que para todo ım n ≥ N, |L −zn | < r, por lo que para todo n ≥ N, zn ∈ Br (L), es decir, Br (L) contiene todos los términos de la sucesión salvo, posiblemente, z0 , . . . , zN −1 . Recíprocamente, supongamos que cada entorno de L contiene todos los términos de la sucesión, salvo una cantidad finita. Sea ε > 0, y sea N tal que ∀n ≥ N, zn ∈ Bε (L). Entonces, para todo n ≥ N, |L − zn | < ε, por lo que l´ n→∞ zn = L. ım 2.Supongamos que l´ n→∞ zn = L1 y l´ n→∞ zn = L2 . Si L1 = L2 , sea ε = |L1 − L2 | /2. ım ım Será ε > 0. Sea N1 tal que ∀n ≥ N1 , |L1 − zn | < ε y N2 tal que ∀n ≥ N2 , |L2 − zn | < ε. Tomemos N = m´x{N1 , N2 }. Sería entonces |L1 − L2 | ≤ |L1 − zN | + |zN − L2 | < 2ε = a |L1 − L2 |, que es una contradicción que proviene de suponer que L1 = L2 . 3. Sea {zn } convergente hacia L. Existe N ∈ N tal que paratodo n ≥ N, |L − zn | < 1. Sea M = 1 + m´x {|L − z0 | , . . . , |L − zN −1 | , 1}. Entonces, para todo n ∈ N, |L − zn | ≤ M , a por lo que la sucesión {zn } es acotada pues su campo de variabilidad está contenido en BM (L).
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6. SUCESIONES Y SERIES. SERIES DE TAYLOR

Cada término de una sucesión compleja {zn } tiene parte real que llamaremos xn y parte imaginaria yn . Es decir, zn =xn +iyn . Hay dos sucesiones de números reales que pueden entonces asociarse naturalmente a la {zn }: ellas son {xn } e {yn }, que llamaremos, respectivamente, la sucesión de partes reales y la sucesión de partes imaginarias . Veremos cómo el estudio de la convergencia de la sucesión {zn } en C se puede reducir al estudio de la convergencia de {xn } y de {yn } en R. Proposición 6.3. Sea {zn }n≥0una sucesión de números complejos, con zn = xn + iyn , y sea L un número complejo. Se tiene que {zn } converge a L si, y sólo si, {xn } converge a Re L e {yn } converge a Im L. Demostración. Digamos que las partes real e imaginaria de L son, respectivamente, x e y. Para la ida, supongamos que l´ n→∞ zn = L. Sea ε > 0. Existe un N tal que para todo ım n ≥ N, |zn − L| < ε. Pero es |zn − L| ≥ |xn −...