estadistica

La función de Supervivencia
Consideremos un grupo de 100,000 recién nacidos
g p
,
representativos de una población, el cual será monitoreado
a través del tiempo hasta que ocurra la últimamuerte. Para
cada x podemos obtener:
d
d
bt

l x : Número esperado de sobrevivientes a edad x
p

d x : Número esperado de personas que morirán
durante el siguiente año (antes de cumplir la
edadx+1)
l x = d x + l x +1

ω:

S (x) :

J.R. Castro

Edad final
Ed d fi l en l que todos l elementos d l
la
d los l
del
grupo ya ha fallecido
Función de supervivencia = Probabilidad deque un recién nacido alcance la edad x
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La función de Supervivencia
S ( x)

Graficamente:

x

Características :

1) S (x) es una función continua decreciente
( )
2) S (0) = 1
0≤ x x)El fallecimiento ocurre
después de la edad x
Entonces:
Entonces

Fx ( x) = P ( X ≤ x) = 1 − S x ( x)
Función de
distribución
(creciente)
J.R. Castro

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La función de SupervivenciaCaracterísticas de F(x):
( )
1) Fx (0) = P ( X ≤ 0) = 1 − S x (0)
= 1−1 = 0
2) Fx (ω ) = P ( X ≤ ω ) = 1 − S x (ω ) = 1
Dado lo anterior, tenemos que:

P(x ≤ X ≤ x + t ) = P( X ≤ x + t ) − P( X ≤x )

= Fx ( x + t ) − Fx ( x )

Probabilidad de
q
que un recién
nacido fallezca
entre las edades
x y x+t
+t
J.R. Castro

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La función de Supervivencia
P( x ≤ X ≤ x + t ) = Fx ( x + t) − Fx ( x )

= (1 − S x ( x + t )) − (1 − S x ( x ))

= S x (x ) − S x (x + t )

¿ Cómo cambiaría la expresión anterior si supiéramos de
antemano que ya se alcanzó la edad x ?

P(x ≤ X ≤ x+ t )
P (x ≤ X ≤ x + t X > x ) =
P( X > x )

S (x ) − S (x + t )
S (x + t )
=
= 1−
S (x )
S (x )

=t qx
J.R. Castro

Probab. de que una persona de edad
x f ll
fallezca d
durante lsigs. t años
los i
ñ
10

La función de Supervivencia
Así:
t

px =

Probab. de que una
persona de edad x
sobreviva a edad x+t
b
d d

S (x + t )
= 1− t q x =
S (x )

Consideremos...