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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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2.3.- SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS.
Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo, si y sólo si todos los términos independientes de todas y cada una de las ecuaciones del sistema son cero, es decir: a11 x1 % a12 x2 % ... % a1n xn ' 0 a21 x1 % a22 x2 % ... % a2n xn ' 0 ................................. am 1 x1 % am 2 x2 % ... % am n xn ' 0Todos los sistemas lineales homogéneos admiten, evidentemente, la siguiente solución: x1 = x2 = ... = xn = 0, pero al ser esta solución común a todos ellos, se dice que es una solución trivial. Por tanto aquellos sistemas homogéneos que sólo admiten como solución la solución trivial, se dicen que son sistemas homogéneos incompatibles, ya que aunque tienen solución sólo se trata de la solución trivial(ya que esta solución trivial carece de interés en la mayoría de los problemas físicos, geométricos,...). Aquellos otros sistemas homogéneos, que admiten otras soluciones además de la solución trivial se dicen que son sistemas homogéneos compatibles o más precisamente sistemas homogéneos compatibles indeterminados, debido a que presentarán infinitas soluciones, como veremos en su momento. Alaplicar GAUSS a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo para estudiar su tipo de compatibilidad, debemos tener presente que nunca obtendremos ecuaciones absurdas, y por tanto, pueden presentarse los siguientes casos:

1º) Si m = n, significa que obtenemos un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, dicho sistema tendría el siguiente aspecto: a11 x1 % a12 x2 % ... % a1n xn ' 0g22 x2 % ... % g2n xn ' 0 ..................... ' ... hn n x n ' 0
y como además: a11 … 0, g22 … 0, ... , hn n … 0, estamos ante un sistema INCOMPATIBLE o que sólo admite la solución trivial Para encontrar la solución del sistema, despejamos xn de la última ecuación: xn = 0, y la sustituimos en la ecuación que le precede, lo que nos permite calcular una nueva incógnita; procedemos de formaanáloga con cada una de las sucesivas ecuaciones anteriores, lo que nos lleva a calcular las restantes incógnitas, y por tanto a encontrar la solución del sistema, que es: x1 = x2 = ... = xn = 0.

Fco. Fdez. Morales

ÁLGEBRA LINEAL

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En la práctica, al trabajar con la matriz del sistema, llegaríamos a la matriz triangular siguiente: a11 a12 ... a1n 0 /0 00 0 0 g22 ... g2n 0 00 0 0 ...... 000 ... 00 0 0 ... hn n 000 0 siendo la solución del sistema, obviamente, la solución trivial

2º)

Si m < n, es decir, llegamos a un sistema con menor número de ecuaciones que de incógnitas, osea, nos faltan ecuaciones o lo que es lo mismo, nos sobran incógnitas, el sistema que obtendríamos sería: a11 x1 % a12 x2 % ............................... % a1n xn ' 0 g22 x2 %............................... % g2n xn ' 0 ................................................ ' ... hm m xm % ... % hm n xn ' 0 y como además: a11 … 0, g22 … 0, ... , hm m … 0, el sistema sería COMPATIBLE INDETERMINADO. Este sistema compatible indeterminado será uniparamétrico, biparamétrico,..., dependiendo si nos sobran 1, 2, ..., incógnitas, en general se correspondería con un sistema compatible indeterminado n-mparamétrico, si sobran n-m incógnitas. Las incógnitas que nos sobran son incógnitas secundarias que pasan a ser parámetros. Para encontrar la solución del sistema, despejamos xm de la última ecuación: & hm n xn & .... xm ' , y la sustituimos en la ecuación que le precede, lo que nos permite hmm calcular una nueva incógnita; procedemos de forma análoga con cada una de las sucesivas ecuacionesanteriores, lo que nos lleva a calcular las restantes incógnitas, y por tanto a encontrar la solución del sistema. Pero las incógnitas principales las obtenemos en función de las secundarias, por lo que para encontrar la solución final, debemos sustituir las incógnitas secundarias por parámetros.

En la práctica, al trabajar con la matriz del sistema, llegaríamos a la matriz triangular siguiente:...