estadistica

Distribución Chi- Cuadrado
En estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro  que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde  son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria  tenga esta distribución se representa habitualmenteasí: .
Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe a otros idiomas (como el latín, el inglés o el alemán) comochi. En cualquier caso, la pronunciación en castellano es ji. Tal diferencia es debida a la ausencia una letra para el sonido «j» español en tales idiomas, y el sonido se imita con el dígrafo «ch».
La media de esta distribución es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Estadistribución es básica en un determinado número de pruebas no paramétricas.
Si consideramos una variable aleatoria Z~N (0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye según una ley de probabilidad distribución CHI con un grado de libertad
Si tenemos n variable aleatoria independientes Zi~N (0,1), la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución CHI con n grados de libertad,

La media yvarianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n
Propiedades

Función de densidad
Su función de densidad es:

Donde  es la función gamma.

Función de distribución acumulada
Su función de distribución es

Donde  es la función gamma incompleta.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.
Relación conotras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho,  Como consecuencia, cuando , la distribución χ² es una distribución exponencial de media .
Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:


Aplicaciones
La distribución χ² tiene muchas aplicacionesen inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t deStudent.
Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².






Distribución χ² (Chi-cuadrado)

Función de densidad de probabilidad

Parámetros:
 Grados de libertad
Dominio:
Función de densidad:
Función dedistribución:

Media:
Mediana: aproximadamente 
Moda:    
Varianza:
Coeficiente de asimetría:
Curtosis:
Función característica:




Problemas
Ejemplo 1:
El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistemaestá fuera de control cuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?
Solución.
Existe fuera de control si con n=20 y =0.60, excede
Entonces,
Por tanto, el sistema está fuera de control
Ejemplo 2:
Un bioquímico sospecha que su micro-centrífuga no mantiene constante su velocidad mientras trabaja,lo cual le da una variabilidad indeseada en sus determinaciones. Para controlarla, consigue un tacómetro regulado y mide cada minuto la velocidad durante 10 minutos. Los resultados fueron: una velocidad promedio en las 10 mediciones de 3098 rpm con una desviación de 100,4 rpm. Testear para un error relativo máximo del 2% o menos, si la centrífuga es estable.


La desviación estándar es...