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UNIDAD Nº 4

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Introducción

Veamos, por ejemplo algunas de las transformaciones que podemos realizar con una figura:
- podemos moverlo y cambiar su posición;
- podemos ampliarlo o reducirlo;
- podemos proyectarlos en perspectivas sobre el papel;
- podemos dibujarlo en una lámina elástica y estirarlo hasta deformarlo arbitrariamente.
¿En cuáles de estastransformaciones se mantiene las longitudes (distancias)?
¿En cuáles se mantiene los ángulos?
¿En cuáles se mantiene los puntos alineados?
¿En cuáles se mantiene el ordenamiento de los puntos?
¿En cuáles se mantiene las paralelas, áreas, etc.?


Una transformación geométrica queda determinada cuándo es posible relacionar de modo único cualquier punto del espacio con otro punto del mismo ode otro espacio.
Nosotros trabajaremos en el plano euclidiano (.


Definición: Una transformación geométrica es una función o aplicación biyectiva F: ( ( que además conserva propiedades ligadas a la geometría del plano.


Es decir consideraremos los movimientos como una correspondencia de puntos. A cada punto de una figura inicial corresponde uno y sólo un punto de lasegunda, llamada imagen o transformado del primero
F(P)= P´


Movimientos rígidos
Si se considera en el plano una figura rígida, es decir que no pueda cambiar de tamaño ni de forma, lo único que puede variar en ella es su posición en el plano. Llamamos a estas transformaciones movimientos rígidos, pues es un movimiento donde la única transformación que se observa es el cambio de posición, esdecir, que la figura no se deforma.
- Ejemplos: congruencia – traslaciones - rotaciones – simetrías.
- Contraejemplo: semejanza - homotecia


Propiedades:


Como F es una función biyectiva ( ( F-1 transformación inversa tal que
F-1 o F = F o F-1 = I donde I: transformación identidad


Involución o transformación involutiva:
F es involutiva ( F2 = I o sea F-1 = F


Fes asociativa, no necesariamente conmutativa
F2 o F1= F2 F1 (F2 o F1)(P)= F2[F1(P)]





Punto fijo o invariante (doble o unido):
P(( , transformación de F, se dice que P es fijo si F (P) = P (al aplicarle la transformación se obtiene el mismo punto)



Recta fijo o invariante

Se dice que r es recta fija si : F(r)=r
Lo cual no o quiere decir que si P( r y r fija (F(P) = P






TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO




I. TRASLACIÓN

Definición: Se tiene un segmento orientado [pic], la traslación definida por ese segmento [pic] es T (P)= Q / [pic]es equipolente al [pic]








ó bien dado un vector libre [pic], una traslación de vector [pic] en el plano es también una función en la que a cada punto P del plano lecorresponde como imagen otro punto P´, de modo que el vector [pic] es equipolente a [pic]
T (P)= P´ = P + [pic]


Observaciones:

- Cuando la traslación T se aplica a una recta significa aplicarla a cada una de sus puntos (basta trasladar dos puntos cualesquiera de ella).
- Para aplicar una traslación a un polígono, basta hacerlo con cada uno de sus vértices.
- Para obtener eltrasladado de un círculo hasta trasladar su centro y trazar con este nuevo centro otro circulo del mismo radio
- Las traslaciones conservan las distancias, los ángulos, alineación y orden de puntos, áreas.

























Traslación idéntica. Vector nulo


Definición: Se llama vector nulo al vector cuyo origen coincide con su extremo.Notación [pic], [pic]
Definición: La traslación que transforma todo punto del plano en si mismo se llama traslación idéntica o identidad.
Notación [pic]

Observación
- En la traslación idéntica todos los puntos son unidos [pic]
- Si [pic] entonces T no tiene puntos fijos.
- Si [pic] entonces r es recta fija.

Composición de traslaciones

- La...