estadistica

Modelos de regresi´n l´
o ıneal simple
Jos´ Fernando Zea
e
November 8, 2013
En principio se considerar´ modelos de regresi´n de la forma yi = β0 + β1 x,
a
o
la variable y se considerar´ como una variable continua (otras t´cnicas existen
a
e
cuando la variable es un conteo, una variable dicot´mica, nominal u ordinal,
o
regresi´n log´
o
ıstica, regresi´n Poisson, regresi´nmultinomial, etc), la variable x
o
o
podr´ ser continua o categ´rica.
a
o
Posteriormente se extender´ el modelo l´
a
ıneal para tener dos variables explicativas, que podran ser variables continuas o categ´ricas.
o

1

Regresi´n l´
o ıneal simple

Se considera una variable explicativa, y una independiente de tipo continua:
Consideremos los siguientes provistos por Berrendero (UAM) en el cualse
miden a un grupo de persona, el peso la edad y la cantidad de grasa en la sangre,
en primer lugar estableceremos la correlaci´n entre las variables:
o
setwd("/Users/josezea/Dropbox/Docencia Usta 2013 II/
Estad´stica exploratoria/Modeloreglineal")
ı
## Error:

cannot change working directory

load("grasas.Rdata")
cor(grasas)
##
peso
edad grasas
## peso
1.0000 0.2400 0.2653
##edad
0.2400 1.0000 0.8374
## grasas 0.2653 0.8374 1.0000
plot(grasas)

30

40

50

60

70

80

90

20

50

60

30

40

50

60

peso

350

400

450

20

30

40

edad

200

250

300

grasas

30

40

50

60

70

80

90

200

250

300

350

400

450

Se observa la alta correlaci´n entre la edad y la cantidad de grasasen la
o
sangre. Realizaremos un modelo de regresi´n l´
o ıneal entre estas dos variables,
la cantidad de grasa en la sangre est´ determinado por la edad de la persona,
a
por lo tanto, la edad ser´ la variable independiente. En la siguiente salida se
a
podr´n observar la estimaci´n de los par´metros los cuales pueden ser derivaa
o
a
dos f´cilmente por el m´todo de m´
a
e
ınimoscuadrados o por el m´todo de m´xima
e
a
verosimilitud (procedimiento inferencial, visto en cursos m´s avanzados de esa
Sxy
tad´
ıstica), obteni´ndose como resultados β0 = y − β1 x y β1 = Sxx .
e
modelo = lm(grasas~edad,data=grasas)
summary(modelo)
##
## Call:
## lm(formula = grasas ~ edad, data = grasas)
##
## Residuals:
2

##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##

Min
1QMedian
-63.48 -26.82 -3.85

3Q
28.32

Max
90.88

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 102.575
29.638
3.46
0.0021 **
edad
5.321
0.724
7.35 1.8e-07 ***
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 43.5 on 23 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.701,Adjusted R-squared: 0.688
F-statistic:
54 on 1 and 23DF, p-value: 1.79e-07

(nrow(grasas)-1)*var(grasas$grasas)
## [1] 145377
La l´
ınea recta pasa cerca al origen, y toma un valor en x = 0 de y =
−102.5751, la pendiente de la recta es de 5.3207 el cual es el valor de aumento
en grasa por cada a˜o de aumento de la persona.
n
anova(modelo)
##
##
##
##
##
##
##
##

Analysis of Variance Table
Response: grasas
Df Sum Sq Mean Sq Fvalue Pr(>F)
edad
1 101933 101933
54 1.8e-07 ***
Residuals 23 43444
1889
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Otras salidas destacadas son la suma de cuadrados de la regresi´n (10232)
o
n
SCR = i=1 (ˆi − y)2 , la suma de cuadradados del error ( 135145), SCE =
y
n
SCR
2
2
o
i=1 ei y el coeficiente de deterimaci´n, R = SCT , donde SCT es la suma de
ncuadrados del total (0.7012), SCT = i=1 (yi − y)2 .

2

Regresi´n l´
o ıneal para variable categ´rica
o

El modelo considerado es de la forma yi j = β1j + eij , en donde i corresponde
al individuo, j se refiere a la categ´ria j de la variable que se est´ desarrolando.
o
a
As´ si una variable tiene seis niveles existe una estimaci´n para cada uno de
ı,
o
los seis niveles de la variable....