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Variable aleatoria de la distribución normal
Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa porN(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es lacampana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.




Curvade la distribución normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a la media µ.
Tiene un máximo en la media µ.
Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas esigual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
Distribución normal estándar
N(0, 1)
La distribución normal estándar,o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y pordesviación típica la unidad, σ =1.
Su función de densidad es:

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X quesigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Aproximación de la binomial por la normal
Teorema de Moivre
Si:
n · p ≥ 0 y n · q ≥ 0.
La distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal:


Ejemplo: 
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de queentre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.





Distribuciones discretas
Esperanza matemática o media

Varianza

Desviación típica



0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1


Distribución binomial

n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio 
Media

VarianzaDesviación típica

Ejercicios
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
B(4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?




Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas dela misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.


3.Exactamente dos personas.



Si de seis a siete de la tarde se admite que un número deteléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5



La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una...