estadistica

SOLUCIÓN AL EXAMEN DE ESTADÍSTICA II DE 28 DE JUNIO DE 2012
PROBLEMA 1
Sea X=Ventas diarias en euros de un comercio, X~N(450,96).
A) El beneficio diario es la diferencia entre las ventas y el gasto: B=X-200. Esta
variable es un cambio de origen (transformación lineal de una normal) y tendrá
otra distribución normal cuya media y varianza son:
E B   E  X  200  E X   200  250€

V[ B]  V [ X  200]  V X   962   B  96€
La probabilidad solicitada se obtiene tipìficando, puesto que es una normal, y
buscando en tablas:

300  250 

P{B  300}  P Z 
  PZ  0,52  0,3015
96


El 30,15% de los días el comercio tendrá un beneficio superior a 300 euros
B) Repetimos el experimento dicotómico (éxito=beneficio mayor de 300 y
fracaso=beneficio inferior a300) 48 días laborales. La v.a. U=días con beneficio
superior a 300 euros es una binomial de parámetros n=48 y p=0,3015;
U~Bi(48,0,3015). Como no está en tablas, podemos aproximar a una normal
cuya media es np=480,3015=14,47 y varianza np(1-p)=10,11.
Puesto que es una normal, tendremos que tipificar y calcular la probabilidad de
que al menos 15 días tengamos un beneficio superior a 300,recordando la
corrección por continuidad:
14,5  14,47 

P  14,5  P Z 
U
  PZ  0,01  0,4960
3,18


El 49,60% de los bimestres tendremos al menos 15 días con beneficio superior a
300€.
C) Sea W=tiempo de entrega, en días, de un pedido, W~(1/10). Nos piden la
W
probabilidad P  10 W  5. Recordando la propiedad de falta de memoria de

la exponencial:
P  10 W  5 P  10  5  P  5
W
W
W

A continuación se calcula la probabilidad utilizando la función de densidad
puesto que no tenemos esta distribución tabulada:



1
  1 x
 5 
1  x
P  5   e 10 dx   e 10   0    e 10   0,6065
W


10
5

5




El 60,65% de las ocasiones que hayamos esperado más de cinco días un pedido,
tardará al menos otros cincodías en llegar.
D) Hacemos 50 pedidos y tendremos 50 tiempos de entrega W 1 ,W 2 ,…,W 50 y nos
piden la probabilidad de que el tiempo medio de esos 50 tiempos sea mayor de
50

12 días. El tiempo medio de entrega de los 50 pedidos será: W  Wi
i 1

Es una media de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas,
con media y desviación típica finitas y el número desumandos es elevado; por
50

lo tanto, utilizando el Teorema Central del Límite la distribución de W  Wi
i 1

se aproxima a una normal cuya media es la media de la variables y cuya
varianza es la varianza de la variable entre el número de sumandos.
E W   E W   10
V [W ] 

V [W ] 102

  W  1,41
n
50

Conocida la distribución y sus parámetros, podemos calcular la probabilidadde
que el tiempo medio sea mayor de 12 días:
12  10 

P  12  P Z 
W
  PZ  1,41  0,0793
1,41 

Tiene una probabilidad del 7,93%.

PROBLEMA 2

Sea X una variable aletaroria que mide la duración de una llamada telefónica, X~(1/)
A) El criterio de máxima verosimilitud se basa en maximizar la función de
verosimilitud. Para ello planteamos el siguiente desarrollo:Función de densidad de un dato muestral: f  X  X i  

Tomamos el logaritmo: ln f  X  X i    ln  

1



1



e

1
 Xi



Xi

Derivamos respecto del parámetro que queremos estimar para buscar el máximo:
 ln f  X  X i 
1 1
X 
   2 Xi  i 2

 

Hacemos la suma para todos los elementos de la muestra e igualamos a cero,
despejando el parámetro:
12

n

 X
i 1



i

  

 n


1  n
 X i  n   0   X i  n   0 
2 
  i 1
 i 1



1 n
 X i  X  ˆ
n i 1

El estimador máximo verosímil de la duración media de una llamada (la media 
de una exponencial) es la media muestral.
B) No conocemos la distribución de la proporción muestral, así que tendremos que
utilizar la desigualdad...