Estadistica

Teoría del conteo:

Se les denomina técnicas de conteo a las combinaciones, permutaciones y diagramas de árbol, que nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como loson: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
*Permutaciones: una permutación es cualquier subconjunto ordenado de un conjunto universal. Es decir, se llaman permutaciones de n elementos a los diferentes grupos que pueden hacerse tomándolos todos cada vez.
Ejemplos:
1.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?
Solución: Puestoque tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320
2.- Calcular las permutacionesde 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
3. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
4. ¿De cuántas formasdistintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta?
Sol: P5 = 120 fotografías distintas
6. Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?
Sol: P6 = 720 conexiones diferentes
7.-De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero entre un grupo de 10 personas.
La respuesta es
P (10, 4) = 10!/ (10 - 4)! = 5,040 o bien 10 · 9 · 8 · 7 = 5,040 maneras diferentes.
8. ¿De cuántas formaspuede formarse en una fila 7 mexicanos distintos y 5 gringos distintos si ninguna pareja de gringos puede estar junta?
Podemos formar a los mexicanos y a los gringos mediante un proceso de dos partes. Formando a los mexicanos y a los gringos. Los mexicanos pueden formarse de 7! = 5040 maneras. Una vez formados los mexicanos, como ninguna pareja de gringos puede estar junta, los gringos tienen 8posiciones en las cuales formarse, es decir:
_ M1 _ M2 _ M3 _ M4 _ M5 _ M6 _ M7 _
Así los gringos pueden formarse de P (8, 5) = 6,720 maneras. Por la regla del producto tenemos que 5,040 · 6720 = 33'868,800 maneras diferentes de formarlos.
9.- Se quieren colocar 3 pelotas de color rojo, azul y blanco en cajas numeradas con 1, 2,..., 10. Deseamos conocer el número de maneras distintas en que laspelotas pueden ser colocadas en cajas, si cada caja es capaz de contener sólo una pelota.
Coloquemos las pelotas una a la vez, iniciando con la pelota roja, luego la azul y después la blanca. Puesto que la pelota roja puede colocarse en cualquiera de las 10 cajas, la azul en cualquiera de las 9 restantes y la blanca en cualquiera de las 8 restantes, el número total de maneras distintas decolocar estas pelotas es 10 · 9 · 8 = 720.
10. ¿De cuantas maneras pueden ser programados tres exámenes dentro de un periodo de 5 días, de modo que el mismo día no sean programados 2 exámenes?
Si consideramos que P(n, r) =(n) (n -1) (n - 2)... (n - r +1) = P (5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60 maneras distintas de programas los exámenes.
*Combinaciones: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden...