estadistica

2.ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

En la estimación puntual atribuimos al parámetro el valor correspondiente del estimador obtenido en la muestra aleatoria de tamaño n. Es claro, que dicho valor dificilmente coincidirá con el verdadero valor del parámetro aunque el tamaño de la muestra sea muy grande.

La estimación por intervalos consiste en atribuir al parámetro desconocido un rangode posibles valores (en base a los datos muestrales) que tengan una alta probabilidad de incluir entre ellos al valor del parámetro desconocido. Para ello será imprescindible conocer la distribución muestral del estadístico utilizado.

El intervalo estimado que debe contener al parámetro se llama intervalo confidencial o de confianza. Denominamos límites confidenciales a los extremos de dichointervalo. Llamaremos nivel de confianza a la probabilidad de que un intervalo contenga al parámetro desconocido y se suele denotar por . Se llama nivel de riesgo o de significación al valor de .

Es decir,. Esto indica que el ()% de intervalos construidos contendrán al parámetro desconocido.

Denominaremos error muestral máximo a la diferencia entre el valor de la estimación muestral y elvalor del parámetro; es decir, .

Ejemplo: Sea el parámetro desconocido y el estimador que consideramos el cual sigue una distribución . Supongamos un error muestral máximo .

Si calculamos la probabilidad de tener ese error o uno menor, obtendremos:
= ya que el estimador seguía una distribución normal.

Esta probabilidad podemos escribirla también de la siguiente forma:




Por tanto,el intervalo de confianza tiene un nivel de confianza =0'9544 o un nivel de significación de =0'0456. Esto equivale a decir que tenemos la confianza 0'9544 de que, extraida una muestra y calculado el valor de , éste no se aleja del parámetro más de dos desviaciones típicas o un riesgo de 0'0456 de que se aleja más de esa cantidad.

Dicho de otro modo, si sale una muestra en que está en la zonarayada el intervalo no contendrá a .
Normalmente lo que se hace es fijar de antemano el nível de confianza y se busca el intervalo correspondiente a ese nível de confianza utilizando la distribución muestral del estadístico.

2.1 CASOS PATICULARES

2.1.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Si desconocemos la distribución de la población, podemos hallar un intervalo de confianza para lamedia, basándonos en un resultado que conocemos como Desigualdad de TChebychev.

Sea X una v.a. cualquiera con media y varianza . Se cumple que:



Usando el anterior resultado, aplicándolo a la variable aleatoria X y tomando , obtendríamos que el intervalo para un nivel sería:



Para analizar los resultados que presentamos a continuación, supongamos una población que se distribuyenormal de media y varianza poblacional . También servirán cuando la población no es normal pero el tamaño muestral es grande.

a) Si es conocida.

Ya sabemos que . Sea el percentil de la distribución normal; es decir,.









Haciendo operaciones

Por tanto, el intervalo de confianza para será:


b) Si es desconocida.
En este caso tenemos que
Por el mismorazonamiento anterior, si llamamos al percentil de la distribución t de Student tal que , el intervalo de confianza al nivel de significación (o equivalentemente, al nivel de confianza 1-) será:



Ejemplo: Extraemos una m.a.s. de 61 estudiantes universitarios. Responden a una prueba de inteligencia espacial, en la que alcanzan una media de 80 y una varianza de 100. ¿Entre qué límites se hallará laverdadera inteligencia espacial media de los estudiantes, a un nivel de confianza del 99%?

La varianza poblacional es desconocida y la población no es normal, pero el tamaño muestral es mayor que 30, por tanto, el intervalo correspondiente será:



Buscamos en las tablas la distribución t de Student .

Sabemos que y . Sustituyendo en el intervalo de confianza tenemos:



por tanto,...