Estadistica

TEMA 3: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

3.1. Conceptos Generales. .......................................................................... 1
3.2. Distribuciones bidimensionales de frecuencias.................................... 1
3.2.1. Tablas de correlación y contingencia. ............................................ 1
3.2.2. Distribuciones marginales y condicionadas................................... 3
3.3. Momentos en distribuciones bidimensionales:..................................... 5
3.3.1. Momentos respecto al origen (no centrados). ............................... 5
3.3.2. Momentos respecto a la media (centrados): La covarianza. .......... 5
3.4. Independencia estadística:.................................................................. 7

3.1. Conceptos Generales.Hasta ahora hemos estudiado sobre cada observación de las que forman la muestra
el valor que presenta un determinado carácter. En este tema estudiaremos sobre
cada observación dos caracteres (por ejemplo: peso y altura, edad y salario,...).
Estos dos caracteres tendrán unas variables asociadas que denotaremos por X e Y.
cada variable tomara unos valores x1 , x2 , ...,xk (la variable X) y y1, y2 ,..., yp (la
variable Y).
A la variable (X,Y) la llamaremos variable estadística bidimensional y sus valores
serán los pares de valores (xi , yj ).
Los razonamientos que presentaremos para dos variables (estadística
bidimensional) son extrapolables en mayor o menor medida para “n” variables
(estadística n-dimensional).
Representación numérica.
La tabla estadística más sencilla pararepresentar una variable bidimensional
consiste en colocar en dos columnas los pares de valores según se han ido
observando. Un mismo subíndice afecta a ambos elementos del par y nos indica
que observación nos ha proporcionado dicho par de valores (xi , yi ), el último
subíndice, “n” es igual al número de observaciones:
EJEMPLO 1: LA SUPERFICIE EN HECTAREAS(X) Y PRODUCCION EN Qm.(Y) DE 5FINCAS:
FINCA
1
2
3
4
5

SUP.Ha.(X)
10
5
10
15
5

PRODUC. Qm(Y)
100
75
50
75
75

3.2. Distribuciones bidimensionales de frecuencias.

3.2.1. Tablas de correlación y contingencia.
En esta representación los distintos valores de la variable X los notamos xi i= 1, 2,
..., k y los distintos valores de la variable Y los notamos yi i= 1, 2, ..., p.
A cada observación le correspondeun par de valores (xi , yj ). Al numero de
observaciones que han presentado el valor xi de X e yj de Y se le denomina
frecuencia absoluta del par (xi , yj ) y se nota como ni j.

DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA
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TEMA 3: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

Notaremos con fi j a la frecuenciarelativa de dicho par:

ni j
fi j = ------N
Donde N es el número de observaciones:
k

N=

p

∑∑n
i =1 j =1

ij

NOTA: (interpretación del doble sumatorio)
k

p

k

p

p

p

p

i =1

j =1

j =1

j =1

j =1

∑ ∑ nij = ∑ (∑ nij ) = ∑ n1 j + ∑ n2 j + ... + ∑ nkj = n11 + n12 + ... + n1 p
i =1 j =1

+ n 21 + n 22 + ... + n 2 p + ... + n k 1 + n k 2 + ... + n kpk

Es fácil comprobar que:

p

p

k

N = ∑ ∑ nij = ∑ ∑ nij
i =1 j =1

j =1 i =1

Se denomina distribución bidimensional de frecuencias al conjunto de valores (( xi ,
yj ) , ni j) donde i= 1,2,..., k y j = 1,2,...,p.
Esta distribución bidimensional se representa adecuadamente mediante una tabla
de doble entrada llamada tabla de correlación:

X/Y
x1
x2
.......
xk

y1
y2n11
n12
n21
n22
..........
nk1
nk2

y3
............
n13 .............
n23 .............

yp
n1p
n2p

nk3 .............

nkp

EJEMPLO 2: DISTRIBUCION SEGÚN SALARIOS (Y, EN EUROS) Y EDADES(X) DE
UN GRUPO DE 100 JOVENES.
X/Y
20
21
22
23
SUMA COL.

50-100
* 75
10
5
2
0
17

100-150
125
3
15
20
13
51

150-200
175
2
5
15
10
32

SUMA FILA
15
25
37...