Estadistica

LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
NORMAL
Las variables aleatorias continuas, como se mencionó en el capítulo 4, son aquellas que
pueden tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo de la recta.
Como ejemplo de variables aleatorias continuas se pueden citar las siguientes:
1. las estaturas o pesos de un grupo de personas
2. la duración de un producto perecedero, como unabombilla, una componente de
una máquina o un producto alimenticio.
3. el tiempo necesario para llevar a cabo un determinado trabajo.
4. los errores de medición que resultan de experimentos de laboratorio.
En resumen, cualquier variable aleatoria cuyos valores son mediciones es una variable
aleatoria continua. Es importante hacer notar que muchas de las variables aleatorias
observadas en lanaturaleza tienen una distribución de frecuencias de forma
aproximadamente acampanada.
La función de densidad de probabilidad normal está dada por la ecuación de la curva
acampanada de la figura 6.7. Como la ecuación de la función de densidad se construye
de manera que el área bajo la curva representa una probabilidad, el área total es igual a
1.

Figura 6.7 Función de densidad deprobabilidad normal

En la práctica, es raro encontrar variables cuyo recorrido va de “menos infinito” a “más
infinito,” cualquiera que sea el significado que e le quiera dar a estas frases. Ciertamente
la estatura de los seres humanos, el peso de una especia de escarabajo o la duración de
una bombilla son variables que no satisfacen este requisito. Sin embargo, el histograma
de frecuencia relativa,para muchos tipos de mediciones, genera al graficarse una figura
acampanada que podría aproximarse por la función cuya gráfica aparece en la figura
6.7.
Además, frecuentemente la distribución normal puede usarse para aproximar
distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas.
Función de densidad de probabilidad normal
−
1
f ( x)
e
σ 2π

( x−μ )2
2σ 2

-∞ < x < ∞

1Los símbolos e y π representan números irracionales cuyos valores son
aproximadamente 2.718281828 y 3.141592, respectivamente, mientras que μ y σ
son la media y la desviación estándar de la población.
La ecuación de la distribución de probabilidad normal depende de los valores numéricos
de μ y σ y al hacer variar estos valores se genera una familia infinita de
distribuciones normales. Deser posible, sería conveniente tener una tabla de áreas bajo
la curva que pudiera usarse en todos los casos. La forma más simple de hacerlo es
trabajando con áreas limitadas por un determinado número de desviaciones estándar de
la media como en el caso de la regla empírica. Por ejemplo, se sabe que
aproximadamente 0.68 del área total está comprendida entre μ − σ y μ + σ ; 0.95
entre μ − 2σ yμ + 2σ , y casi toda el área está entre μ − 3σ y μ + 3σ . Pero
cómo podría encontrarse el área que está comprendida por ejemplo entre μ − 0.7σ y
μ + 0.7σ y más valores que comprenderían porción de área bajo la curva normal. Se
utilizarán tablas (tabla 6.4) para encontrar éstos tipos de valores.
Dado que la curva normal es simétrica alrededor de la media, la mitad del área bajo la
curva estáa la izquierda de la media y la mitad a la derecha. También, debido a la
simetría se puede simplificar la tabla de áreas listando únicamente las áreas entre la
media y un determinado número z de desviaciones estándar a la derecha de μ . Las
áreas que se encuentran a la izquierda de la media pueden calcularse usando las
correspondientes áreas a la derecha de la media. La distancia de la media aun valor
dado x ( x − μ ). Expresando esta distancia en unidades de la desviación estándar σ , se
tiene que
x−μ
z=

σ

DEFINICION
Una variable aleatoria normal con media igual a cero y varianza igual 1 recibe el
nombre variable aleatoria normal estándar y se denota como Z.
(x − μ)
Si hacemos la sustitución z =
en la fórmula de la distribución normal con

σ

media μ y varianza...