Estadistica

MUESTRAS ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

Definición: Si las variables aleatorias x1.x2...........xn. tienen la misma función de densidad de probabilidad que la de la distribución de la población, y su función de distribución conjunta de probabilidad es igual al producto de las marginales, entonces x1.x2............xn forman un conjunto de n variables aleatorias independientes eidénticamente distribuidas (IID) que constituyen una muestra aleatoria de la población.

Definición: Un Parámetro es una caracterización numérica de la distribución de la población de manera que describe, parcial o completamente la función de densidad de población de la característica de interés.

Definición: Una estadística (un estadístico) es cualquier función de las variables aleatorias que seobservaron en la muestra, de manera que esta función no contiene cantidades desconocidas.

Definición: La distribución de muestreo de una estadística es la distribución de probabilidad que puede obtenerse como resultado de un número infinito de muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño n provenientes de la población de interés.

TEOREMA : Sean x1.x2...........xn, un conjunto devariables aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias E(xi) = ( y varianzas Var(xi) = (i2, para i = 1.2.......n. Si Y = a1x1 + a2x2 + ......+anxn, en donde a1.a2...an son constantes, entonces “Y” es una variable aleatoria distribuida normalmente con media
E(y) = a1(1 + a2(2 +......+ an(n y varianza Var(y) = a12(12 + a22(22 +...+ an2(n2.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL :Sean x1.x2.........xn, n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con media ( y varianza (2 ambas finitas. La suma de esas variables Sn = x1+x2+ ...+ xn es una variable aleatoria con media n( y varianza n(2, entonces
Z = [pic] se distribuye como una normal N(0;1). En otras palabras, el teorema expresa que cuando n crece sin límite, la variable z tiende a distribuirsenormalmente. Si las variables no son idénticamente distribuidas, se podría demostrar igualmente que: z = [pic]se distribuye como una normal N(0;1), es decir que la suma de variables independientes tiende a ser normal con media suma de medias y varianza suma de varianzas.

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL [pic]:
Def. Sea x1,x2,… xn una muestra aleatoria de tamaño “n” de una población con funciónde densidad f(x) con media [pic] y varianza σ2 . La media muestral representada por [pic], es la media aritmética de los elementos de la muestra, es decir: [pic][pic].
Teorema: Sea x1,x2,…..,xn, una muestra aleatoria que consiste de n variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias E(xi) = [pic] y varianzas Var(xi) = σ2 , i = 1,2, ……, n. Entonces la distribución de lamedia muestral [pic] es normal con media [pic] y varianza [pic]. En efecto:
E ([pic]) = E ([pic]) = [pic][pic]= 1/n(n.μ) [pic] E([pic]) = μ.
Var ([pic]) = Var[pic] = [pic]= [pic][pic][pic] Var ([pic]) = [pic].
De aquí se tiene que [pic]~N(μ, [pic].) Luego: Z = [pic] ~ N(0,1)

Teorema: Sean x1,x2, ……..xn una muestra aleatoria de tamaño n, de una distribución normal con media μ y varianzaσ2. Entonces zi = (xi – μ)/σ son variables aleatorias normales estándar e independientes, i = 1,2,..,n y [pic]= [pic]tiene una distribución [pic]2 con n grados de libertad
En la tabla correspondiente a esta distribución, podemos encontrar valores de
[pic] tales que P ([pic]2 > [pic]) = [pic].

[pic]
[pic]

La distribución de muestreode S2:

Teorema: Sea X1, X 2,…, Xn, una muestra aleatoria de una distribución normal con media μ y varianza σ2. Entonces: [pic] = [pic] tiene una distribución [pic]2 con (n-1) grados de libertad. [pic] y s2 son también variables aleatorias independientes.
Ejemplo: Si X1, X2,…., X10 es una muestra aleatoria de una población distribuida normalmente con media 8 y varianza 9. Calcular...