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Guía de Probabilidades

1.- Probabilidad Condicional, Bayes, Independencia

1.1.- Probabilidad Condicional:

DEF:

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral M con IP(E)>0.

Se define la probabilidad condicional de A dado E (se denota IP(A/E)), como sigue:

[pic] (**)

OBS:

La probabilidad condicional de A dado E (o bien, la IP del suceso A sí ya ha sucedido elsuceso E, o bien, la IP del suceso A condicionado a E), se puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuación:

[pic]

Nota:
• La probabilidad condicional es una probabilidad relativa del suceso A con relación al suceso E.
• En general [pic]
En particular, si M es un espacio finito y (A( denota la cardinalidad de un evento A, entonces:

[pic]
o
[pic]
o
[pic]Ejercicio:

Si al lanzar un par de dados insesgados se obtiene que la suma es 5, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2, es decir:

E={ suma es 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} => (E(=4 y
A={un dos aparece por lo menos en un dado}={ (2,1) , (2,2), (2,3), (2,4) , (2,5) , (2,6), (1,2),(3,2),(4,2),(5,2), (6,2)}=>(A(=11.

Hallar IP(A|E)

Solución:E consta de 4 elementos y en 2 de ellos aparece el número 2, entonces pertenece a A:

A(E= {(2,3), (3,2)} => (A(E(=2

Entonces IP(A|E)=2/4= 1/2.
Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional:

Si despejamos de la ecuación (**) que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que A(E = E(A, obtenemos la siguiente fórmula:

Teorema 1: [pic]

Obs.este teorema puede extenderse de la siguiente manera por inducción matemática:

Para los eventos A1,A2,.....,An se cumple que

[pic]

Ejercicios resueltos

1. Suponer que se tiene una caja (20 botellas) de Bebidas para la venta, y se sabe que existen 10 que en su tapa traen un premio, determinar:

a- La probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera que tenga sutapa con premio
b- La probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada

Solución:

a Este experimento ocurre sin devolución, gráficamente sería:
[pic]

Sean los sucesos:
S = Sin Premio
C = Con Premio
P1 = La primera premiada
P2 = La segunda premiada

[pic]=casos favorables/casos posibles=
[pic]

También para el desarrollo de este ejercicio se pueden hacer uso de árboles, que indican la condicionalidad en las ramas.

2-b
[pic]

IP(sale 2da premiada en la tercera prueba)=
[pic]
[pic]I
[pic]

(Como ejercicio podría realizarlo usando un árbol).

2- En un costurero se tienen 5 carretes de hilo de loscuales 2 son de color rojo y 3 son de color negro.

a- ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro?

b- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último rojo en la cuarta extracción?

Solución
a- Sean los sucesos:

N = color negro
R = color rojo

Existen 2 eventos y la IP(de que al sacar los carretes el tercero sea el segundode color negro) es:

[pic][pic]

[pic]

b-
Existen 3 eventos cuyas probabilidades son

IP (encontrar el último rojo en la cuarta extracción)=
IP(que el último rojo sea el cuarto)=
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]

3- En una caja de 100 artículos hay 10 defectuosos se toman al azar 3 artículos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no seandefectuosos.

Sean los sucesos:
Ai = {el artículo i es bueno}
Bi = {el artículo i es malo}

IP(A1(A2(A3)= IP(A1) IP(A2/A1) IP(A3/A1(A2)

[pic]

IP(A1)= 90/100 IP(A2/A1)= 89/99 IP(A3/A1(A2)= 88/98
IP(A1(A2(A3)= ((90(89(88)/(100(99(98))=0,72653=72.65%

Es decir, se debe seguir por el árbol buscando las rutas que correspondan al problema planteado y multiplicando las...