estatica

4.3.2. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE

Ahora que se ha incrementado nuestro conocimiento del algebra vectorial, se puede introducir un nuevo concepto: momento de una fuerza con respecto a un eje. Considere nuevamente la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento M O de dicha fuerza con respecto a O (figura 4.14) Sea OL, un eje a través de O: el momento M OL de F conrespecto a OL se define como la proyección OC del momento M O sobre el eje OL. Representando el vector unitario a lo largo de OL como ? y recordando, de las secciones anteriores, obtenidas para la proyección de un vector sobre un eje dado y para el momento M O de una fuerza F, se escribe

M OL = ? * M O = ? * (r * F)

Lo cual demuestra que el momento M OL de F con respecto al eje OL es elescalar que se obtiene formando el triple producto escalar de ?, r y F. expresando a M OL en forma de determinante, se escribe

? x ? y ? z

M OL = x y z

F x F y F z



Donde ? x ? y ? z = cósenos directores del eje OL

x y z = coordenadas del punto de aplicación de F

F x F y F z = componentes de la fuerza F

El significado físico del momento M OL de la fuerza F con respecto al ejefijo OL se vuelve mas evidente si se descompone a F en dos componentes rectangulares F 1 y F 2 con F 1 paralela a OL y F 2 contenida en un plano P perpendicular a OL (figura 4.15). Descomponiendo a r, similarmente, en dos componentes r 1 y r 2 y sustituyendo a F y a r en la anterior ecuación, se escribe

M OL = ? * [(r 1 + r 2 ) * (F 1 + F 2 )]

= ? * (r 1 * F 1 ) + ? * (r 1 * F 2 ) + ? * (r 2* F 1 ) + ? * (r 2 * F 2 )

Observando que, con excepción del ultimo termino del lado derecho, todos los triples productos escalares son iguales a cero, puesto que involucran a vectores que son coplanares cuando se trazan a partir de un origen común, se tiene

M OL = ? * (r 2 * F 2 )

El producto vectorial r 2 * F 2 es perpendicular al plano P y representa el momento de la componente F 2 deF con respecto al punto Q donde OL interfecta a P. Por lo tanto, el escalar M OL , el cual será positivo si r 2 * F 2 y OL tienen el mismo sentido y negativo en caso contrario, mide la tendencia de F 2 de hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de OL. Como la otra componente F 1 de F no tiende a hacer rotar al cuerpo alrededor de OL, se concluye que el momento M OL de F con respecto a OL mide latendencia de la fuerza F de impartirle al cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL.




Figura 7. MOMENTO DE UNA FUERZA.
 
7.3. MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.
Sean:
 Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido como se indica en la figura 104.
 Un punto del sólido alrededor del cual éste puede rotar. 
 El vector de posiciónde A, tomando como origen el punto O.

FIGURA 104.

Se define el momento o torque de la fuerza  con respecto al punto O y se designa por  como:

Observaciones:
1. El simbolo < class="large3"> corresponde a una letra del alfabeto griega y se lee tao, también se designa el momento con respecto al punto O por 
2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuenciasque se pueden observar en las figuras 105 y 106.

FIGURA 105.


7.3.1. MAGNITUD DE 
, siendo  el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un mismo punto; observemos que no necesariamente, el ángulo determinado entre el vector  y la aplicación de  en su extremo que corresponde realmente a su suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones se toma como el ánguloentre los dos vectores.

FIGURA 106.

Vemos que en el  rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O a la linea de acción de , que  y por lo tanto se tiene tambien que:  a la distancia OH se le denomina brazo de palanca, y una consecuencia inmediata de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza  es independiente del punto de aplicación de ésta sobre su línea...