Estatiks
Páginas: 19 (4630 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2011
EJERCICIOS DE APLICACION
EJERCICIO 1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las m´ximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada. a
15.00 m
θ°
0.80 m
T
y x p
0.10 m 0.10 m
T
θ°
La carga axial del cable es T = 165 tn. Las dimensiones de la viga son L = 15 m h = 0.80 m d = 0.30 m A = 0.24 m2 d h2 = 0.032 m3 W = 6 → → → → Longitud Altura Ancho Areaseccional
→ Momento resistente
PROCEDIMIENTO ANALITICO Este procedimiento puede aplicarse cuando la posici´n del cable se describe anal´ o iticamente. En este caso se cuenta con una funci´n parab´lica o o a = 0.1 m b = −0.10667 e (x) = a + b x + c x2 c = 0.007111 1 m e0 = |e (x)|x=0 = |a| = 0.1 m El angulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamentepeque˜o ´ n (considerar que la escala vertical de los gr´ficos est´ distorsionada para mayor claridad) y a a puede calcularse como su pendiente ¡ ¢ ¡ ¢ θ0 = tan θ0 = sin θ0 = |e0 (x)|x=0 = |b| = 0.10667 La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula como χ (x) = e00 (x) = 2 c 1 = 0.014222 m
En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al ejebaric´ntrico de la secci´n e o de la viga
6
Las cargas que produce el cable sobre el hormig´n resultan o H o ≈ T = 165 tn M o ≈ T e0 = 16.50 tnm V o ≈ T θ0 = 17.60 tn tn p (x) ≈ T χ (x) = 2.347 m
M° H°
V°
p
V°
M° H°
El Momento Isost´tico de Pretensado puede calcularse aplicando sobre la viga este sistema a de cargas autoequilibradas M I (x) = M o − V o x + aunque tambi´nse verifica e M I (x) = T e (x) = 16.50 − 17.60 x + 1.173 x2 El Corte Isost´tico de Pretensado se expresa como a QI (x) = −V o + p x = −17.60 + 2.347 x o simplemente QI (x) = T e0 (x) = −17.60 + 2.347 x
M om ento Isostático de Pretensado
1 2
p x2
= 16.50 − 17.60 x + 1.173 x2
16.50 tnm
16.50 tnm
49.50 tnm
C orte Isostático de Pretensado
17.60 tn 17.60 tn
7
Las tensionesque se calculan a continuaci´n corresponden s´lo a las cargas de postensado o o en el estado de servicio. Las m´ximas tensiones de compresi´n ocurren en la secci´n central a o o σC max = − Mmax H o − W A tn tn = −1547 2 − 687 2 m m tn = −2234 2 m
al igual que las m´ximas tensiones de tracci´n a o σT max = Mmax H o − W A tn tn = 1547 2 − 687 2 m m tn = 860 2 m
Las m´ximas tensiones cortantesse encuentran en las secciones de los extremos a τ max = 3 Qmax 2 dh 3 17.60 = 2 0.30 · 0.80 tn = 110 2 m
PROCEDIMIENTO NUMERICO Comunmente la posici´n del cable se describe en forma discreta para coordenadas equidiso tantes de la viga (primeras 2 columnas de Tabla 1). La geometr´ del cable puede entonces ia asumirse como una poligonal con cargas concentradas (P i ) actuando sobre el hormig´n eno nudos con una separaci´n ∆x. o
T
Pn
T T P T
i-1
T Pi
∆x
T
T P i+1
∆x
8
La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como θi+ 2 =
1
ei+1 − ei ∆x
Las cargas sobre el hormig´n a trav´s de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia o e entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo consideradoP i = T θi+ 2 − T θi− 2 El Corte Isost´tico de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el a producto entre la carga y la pendiente del cable QI
i+ 1 2
1 1
= T θi+ 2
1
mientras que el Momento Isost´tico de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la a carga y la excentricidad del cable
i MI = T ei
Los diagramas de esfuerzos resultan aproximadamenteid´nticos a los obtenidos con el procede imiento anal´ itico. Las tensiones m´ximas se calculan en forma an´loga una vez identificadas a a i ´ las secciones criticas. Notar que realizando el cociente entre P y ∆x se obtiene la carga uniformemente distribuida antes utilizada.
9
xi 0.00 0.75
ei 0.100 0.024
θi+ 2 −0.1013 −0.0907 −0.0800 −0.0693 −0.0587 −0.0480 −0.0373 −0.0267 −0.0160...
EJERCICIO 1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las m´ximas tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada. a
15.00 m
θ°
0.80 m
T
y x p
0.10 m 0.10 m
T
θ°
La carga axial del cable es T = 165 tn. Las dimensiones de la viga son L = 15 m h = 0.80 m d = 0.30 m A = 0.24 m2 d h2 = 0.032 m3 W = 6 → → → → Longitud Altura Ancho Areaseccional
→ Momento resistente
PROCEDIMIENTO ANALITICO Este procedimiento puede aplicarse cuando la posici´n del cable se describe anal´ o iticamente. En este caso se cuenta con una funci´n parab´lica o o a = 0.1 m b = −0.10667 e (x) = a + b x + c x2 c = 0.007111 1 m e0 = |e (x)|x=0 = |a| = 0.1 m El angulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamentepeque˜o ´ n (considerar que la escala vertical de los gr´ficos est´ distorsionada para mayor claridad) y a a puede calcularse como su pendiente ¡ ¢ ¡ ¢ θ0 = tan θ0 = sin θ0 = |e0 (x)|x=0 = |b| = 0.10667 La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula como χ (x) = e00 (x) = 2 c 1 = 0.014222 m
En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al ejebaric´ntrico de la secci´n e o de la viga
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Las cargas que produce el cable sobre el hormig´n resultan o H o ≈ T = 165 tn M o ≈ T e0 = 16.50 tnm V o ≈ T θ0 = 17.60 tn tn p (x) ≈ T χ (x) = 2.347 m
M° H°
V°
p
V°
M° H°
El Momento Isost´tico de Pretensado puede calcularse aplicando sobre la viga este sistema a de cargas autoequilibradas M I (x) = M o − V o x + aunque tambi´nse verifica e M I (x) = T e (x) = 16.50 − 17.60 x + 1.173 x2 El Corte Isost´tico de Pretensado se expresa como a QI (x) = −V o + p x = −17.60 + 2.347 x o simplemente QI (x) = T e0 (x) = −17.60 + 2.347 x
M om ento Isostático de Pretensado
1 2
p x2
= 16.50 − 17.60 x + 1.173 x2
16.50 tnm
16.50 tnm
49.50 tnm
C orte Isostático de Pretensado
17.60 tn 17.60 tn
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Las tensionesque se calculan a continuaci´n corresponden s´lo a las cargas de postensado o o en el estado de servicio. Las m´ximas tensiones de compresi´n ocurren en la secci´n central a o o σC max = − Mmax H o − W A tn tn = −1547 2 − 687 2 m m tn = −2234 2 m
al igual que las m´ximas tensiones de tracci´n a o σT max = Mmax H o − W A tn tn = 1547 2 − 687 2 m m tn = 860 2 m
Las m´ximas tensiones cortantesse encuentran en las secciones de los extremos a τ max = 3 Qmax 2 dh 3 17.60 = 2 0.30 · 0.80 tn = 110 2 m
PROCEDIMIENTO NUMERICO Comunmente la posici´n del cable se describe en forma discreta para coordenadas equidiso tantes de la viga (primeras 2 columnas de Tabla 1). La geometr´ del cable puede entonces ia asumirse como una poligonal con cargas concentradas (P i ) actuando sobre el hormig´n eno nudos con una separaci´n ∆x. o
T
Pn
T T P T
i-1
T Pi
∆x
T
T P i+1
∆x
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La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como θi+ 2 =
1
ei+1 − ei ∆x
Las cargas sobre el hormig´n a trav´s de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia o e entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo consideradoP i = T θi+ 2 − T θi− 2 El Corte Isost´tico de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el a producto entre la carga y la pendiente del cable QI
i+ 1 2
1 1
= T θi+ 2
1
mientras que el Momento Isost´tico de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la a carga y la excentricidad del cable
i MI = T ei
Los diagramas de esfuerzos resultan aproximadamenteid´nticos a los obtenidos con el procede imiento anal´ itico. Las tensiones m´ximas se calculan en forma an´loga una vez identificadas a a i ´ las secciones criticas. Notar que realizando el cociente entre P y ∆x se obtiene la carga uniformemente distribuida antes utilizada.
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xi 0.00 0.75
ei 0.100 0.024
θi+ 2 −0.1013 −0.0907 −0.0800 −0.0693 −0.0587 −0.0480 −0.0373 −0.0267 −0.0160...
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