Estimadores

El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberá ser considerado una versión final. Para hacer comentarios y sugerencias, o reportar errores, enviar mail a Alejandro D. Zylberberg Versión Actualizada al: 12 de julio de 2004

CAPÍTULO VIII
Estimadores
Hasta ahora, los parámetros de las distribuciones con las que trabajamos eran dato, o se podían calcular a partir de otrasdistribuciones cuyos parámetros eran dato, o bien se podían calcular de forma evidente. Pero en la vida real los valores de los parámetros no se conocen mágicamente, y generalmente se obtienen haciendo experimentos para poder estimarlos. Entonces si por ejemplo sabemos que la longitud de los tornillos que produce una determinada máquina es una variable normal, pero no sabemos cuánto vale elparámetro µ de esa distribución normal, podemos hacer el experimento de tomar 10 tornillos, calcular el promedio de sus longitudes, y usar ese promedio como estimación de µ . Un estimador de un determinado parámetro es una cuenta que se hace con los resultados de un experimento para estimar el valor del parámetro. En el ejemplo anterior, el parámetro es µ , y en este caso el estimador es:
µ= ˆ

∑x
ni =1

i

n

A partir de ahora usaremos algunas notaciones y convenciones nuevas: • Llamaremos muestra al conjunto de los n resultados que obtenemos al hacer un experimento n veces. Por ejemplo, si para estudiar el peso de las manzanas en un lote de un millón de manzanas tomamos 20 y las pesamos, el experimento es "tomar una manzana del lote y pesarla", n vale 20, y la muestra son los 20valores obtenidos. El valor de n se conoce como "tamaño de la muestra". • Llamaremos población al conjunto de infinitos elementos de donde extraemos la muestra. Dicho número puede no ser estrictamente infinito, pero asumiremos que lo es. • Llamaremos x i a cada resultado del experimento (el peso de cada una de las 20 manzanas observadas). • Notaremos X al promedio de los valores de la muestra. Esdecir,

X=

∑x
n i =1

i

n

• θ es un parámetro que queremos estimar, por ejemplo, la media µ de la distribución normal de pesos de las manzanas. ˆ • θ es un estimador que usaremos para estimar el valor de θ.
ˆ • Nunca olvidar que θ ≠ θ

Dijimos que un estimador es simplemente una cuenta que se hace con los resultados del experimento para estimar el parámetro, con lo cual en esenciacualquier función de dichos resultados puede usarse como estimador de un determinado parámetro. Es importante entonces determinar: a) qué propiedades debe tener un estimador para ser considerado "bueno". b) qué importancia relativa tiene cada una de esas propiedades. Dicho de otra forma: cómo determinar, dados dos estimadores, cuál es el mejor. Antes de dedicarnos a dicha cuestión, haremos algunasconsideraciones sobre el valor esperado de los estimadores:

Valor esperado de un estimador
Llamamos E( ) al valor esperado del estimador , en términos del parámetro θ. Notemos que no es necesario conocer el verdadero valor del parámetro θ para calcular el valor esperado del estimador en términos de θ. Por ejemplo, si θ es la media desconocida de una población normal, y para estimarla se tomauna muestra de tamaño 2 cuyos valores son x 1 y x 2, y el estimador utilizado es
1 ˆ 3 θ = x1 + x 2 4 2

ˆ θ

ˆ θ

entonces:

3 1  3 1 ˆ E (θ) = E  x1 + x 2  = E ( x1) + E ( x 2) 4 2  4 2

y como x 1 y x 2 fueron tomados de una población cuya media es justamente θ, entonces:
3 1 3 1 5 E ( x1) + E ( x 2) = θ + θ = θ 4 2 4 2 4

Con lo cual vemos que aunque en ningún momentosupimos cuánto vale θ, podemos determinar que el valor esperado del estimador
ˆ θ

es

5 θ 4

Propiedades deseables de un estimador

θ Un estimador del parámetro θ es: ˆ • Insesgado, si E( θ ) = θ Es decir, si el valor esperado del estimador es el parámetro. Aunque no conozcamos el valor del parámetro, podemos igualmente calcular la esperanza del estimador en términos del parámetro y ver si...