Estimadores

ESTIMADORES

A. ¿Qué son estimadores?
En estadística, un estimador es un estadístico (esto es, una función de la muestra) usado para estimar un parámetro desconocido de la población. Por ejemplo, si se desea conocer el precio medio de un artículo (el parámetro desconocido) se recogerán observaciones del precio de dicho artículo en diversos establecimientos (la muestra) y la mediaaritmética de las observaciones puede utilizarse como estimador del precio medio.
Para cada parámetro pueden existir varios estimadores diferentes. En general, escogeremos el estimador que posea mejores propiedades que los restantes, como insesgadez, eficiencia, convergencia y robustez (consistencia).
El valor de un estimador proporciona lo que se denomina en estadística una estimaciónpuntual del valor del parámetro en estudio. En general, se suele preferir realizar una estimación mediante un intervalo, esto es, obtener un intervalo [a, b] dentro del cual se espera esté el valor real del parámetro con un cierto nivel de confianza. Utilizar un intervalo resulta más informativo, al proporcionar información sobre el posible error de estimación, asociado con la amplitud de dichointervalo. El nivel de confianza es la probabilidad de que a priori el verdadero valor del parámetro quede contenido en el intervalo.
En la práctica, en los intervalos suelen indicarse dando el valor del estimador puntual utilizado como centro del intervalo y un valor que debe sumarse y restarse para obtener el límite superior e inferior, por ejemplo:

[pic]Equivale a [pic]
EjemploUn fabricante de automóviles ha desarrollado un nuevo tipo de defensa, que se supone que absorbe los impactos con menos daño que las defensas anteriores. El fabricante ha utilizado esta defensa en una secuencia de 25 colisiones controladas contra una pared, cada una a 10mph, usando uno de sus modelos de automóvil compacto. Sea X= número de colisiones que no producen daño visible al automóvil. Elparámetro por estimar es p = proporción de choques que no producen daño [de manera alternativa, p = P (ningún daño en una sola colisión)]. Si se observa que X es x = 15, el estimador más razonable y la estimación son:
[pic]
Si para cada parámetro de interés sólo hubiera un estimador puntual razonable, no habría mucho para la estimación puntual. Sin embargo, en muchos problemas, habrá más deun estimador razonable.

Ejemplo
Considere de nuevo las 20 observaciones siguientes acerca de la tensión disruptiva dieléctrica para las piezas epóxica:
24.46 25.61 26.25 26.42 26.66 27.15 27.31 27.54 27.74 27.94
27.98 28.04 28.28 28.49 28.50 28.87 29.11 29.13 29.50 30.88
El patrón en la gráfica de probabilidad normal proporcionada allí es bastante directo, así que ahora sesupone que la distribución de la tensión disruptiva es normal con media µ. Debido a que las distribuciones normales son simétricas, µ también es el tiempo de vida mediano de la distribución. Entonces se supone que las observaciones proporcionadas son el resultado de una muestra aleatoria X1, X2,…, X20 de esta distribución normal. Considere los siguientes estimadores y las estimaciones resultantes paraµ:
a) Estimador = [pic] estimación = [pic]= ∑xi ln = 555.86/20 = 27.793
b) Estimador = [pic], estimación = [pic] =(27.94 + 27.98)/2= 27.960
c) Estimador = [mín (Xi) + máx(Xi)]/2 = promedio de los dos tiempos de vida extremos, estimación = [mín (Xi) + máx(Xi)]/2 =(24.46 + 30.88)/2 = 27.670
d) Estimador = [pic] la media recortada al 10% (se descarta el 10% más pequeño y más grandede la muestra y luego se promedia).
[pic]
Cada uno de los estimadores (a) a (d) emplea una medida diferente del centro de la muestra para estimar µ. ¿Cuál de las estimaciones es la más cercana al valor verdadero= Esto no se puede contestar sin conocer el valor verdadero. Una pregunta que se puede contestar es, “¿Cuál estimador, cuando se emplea en otras muestras de [pic] tenderá a...