Estructuras cristalinas

Clasi…cación de Estructuras Cristalinas
Los sistemas cristalinos pueden ser clasi…cados en un número de…nido de grupos. Veamos la terminología necesaria para describirlos. El agrupamiento más pequeño en un cristal el cual es representativo de la estructura cristalina es llamada una celda unitaria o motif. Es posible de…nir un cristal como un arreglo regular de unidades, es decir, la unidad serepite a intervalos regulares a lo largo de cada una de las direcciones del cristal. En un cristal el ambiente en cualquier lugar es idéntico en todo respecto al ambiente en un punto correspondiente en cualquier otra parte del cristal. En la …gura 1 se muestra un cristal tridimensional en el cual el paralelepípedo ABCDEFGH es una celda unitaria de la red y está determinada por los vectores base a, by c. Todos los desplazamientos traslacionales de ABCDEFGH por múltiplos enteros de los vecotres a, b y c a lo largo de estas tres direcciones lo trasladan a alguna otra región del cristal idéntica a su ambiente original. Así, el cristal completo puede ser construido repitiendo este proceso para todas las combinaciones posibles de los múltiples enteros de los vectores base o ejes cristalinos, a, by c. Cualquier punto a una distancia r0 del origen puede ser alcanzado desde cualquier otro punto a una distancia r por la relación r0 = r + T; donde T = n1 a + n2 b + n3 c: Aquí T es llamado el operador de traslación y n1 , n2 y n3 son enteros arbitrarios. (2) (1)

Figura 1

1

Consideremos ahora la siguiente de…nición. Una celda unitaria es cualquier poliedro por medio del cual se puedeconstruir un cristal por aplicación repetida del operador de traslación. El arreglo de puntos generado por el operador de traslación es la red; cada punto de la red es un punto de red. Escogemos las longitudes de los vectores a, b y c, y los ángulos , , entre estos vectores, arbitrariamente, lo cual puede llevarnos a pensar que hay un número inde…nido de tipos de red. Pero esto no es así, Usandociertas propiedades de simetría es posible dividir las redes en un número …nito de grupos. Primero digamos que una operación de simetría es tal que después de haber sido realizada deja invariante el ambiente cristalino. Hay cuatro tipos principales de operaciones de simetría: (i) traslación, (ii) rotación, (iii) re‡exión, y (iv) inversión.

Figura 2 Ya hemos discutido la operación de traslación.Un objeto tiene una simetría de rotación alrededor de un eje si, después de haber sido rotado un ángulo , tiene el mismo ambiente como antes de haberse efectuado la rotación. Se dice que un objeto tiene una simetría de re‡exión si, después de que se re‡ a lo largo de una línea (en dos dimensiones) o un plano eja (en tres dimensiones), permanece sin cambio. Un objeto tiene simetría de inversión si,después de haber sido invertido respecto a un punto, cambia un sistema de mano izquierda a 2

Sistema cristalino 1. Cúbico

Número de redes de Bravais en un sistema

Tipo de red de Bravais simple centrada en el cuerpo centrada en la cara simple centrada en el cuerpo simple centrado en la base centrada en el cuerpo centrada en la cara simple centrado en la base

Características de lacelda unitaria

Longitudes y ángulos que deben ser especi…cados

3 2

a=b=c = = = 900 a = b 6= c = = = 900 a 6= b 6= c = = = 900 a 6= b 6= c = = 900 6= a 6= b 6= c = = 6= 900 a=b=c = = 6= 900 a = b 6= c = = 900 = 1200

a a; c

2. Tetragonal

3. Ortorómbico

4

a; b; c a; b; c a; b; c a

4. Monoclínico 5. Triclínico
6. Trigonal (romboedral)

2 1 1 1

simple simple simple Table 1:7. Hexagonal

a; c

uno de mano derecha, y viceversa. Las operaciones (ii), (iii), y (iv), o cualquier combinación de ellas forma un grupo puntual. Combinación de los grupos puntuales con el grupo de traslación llevó al cientí…co francés Auguste Bravais a concluir, en 1866, que hay únicamente 14 tipos de redes espaciales (tridimensionales) que pueden ocurrir en los cristales. Estas 14...