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Ecuaciones diferenciales unidad 2
Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes.
Any(n-1) + An-1y(n-1) +…+ Aiy´ + A0y = 0
Donde los coeficientes Ai i = 0, i … n son constantes reales y An ≠ 0 todas las soluciones de estas ecuaciones de orden superior son funciones exponenciales o están construidas a partir de funciones espontaneas.
Una ecuación de 2 orden:
Ay´´ + By´+ Cy = 0
Am2 + Bm+ c ← ecuación auxiliar
Este problema tiene 2 raices
M1 = (-b+√b2 – 4ac )
2a
M1= (-b-√b2 – 4ac )
2a
Habrá tres formas de solución general que corresponden a los 3 casos
Caso 1: m1 y m2 son reales y distintos si (b2 – 4ac > 0)
Caso 2: m1 y m2 son reales e iguales si (b2 – 4ac = 0)
Caso 3: m1 y m2 son números complejos conjugados si (b2 – 4ac = 0)Respuestas de los casos
Caso 1 Y = C1 em1x + C2 em2x
Caso 2 Y= C1 em1x + C2 xem1x
Caso 3 Y=C1 eαxcosβx + C2 eαx sen βx o eαx ( C1 cos βx + C2 sen βx)
Donde m1=α+ iβ y m2=α+iβ (caso 3)


Ejemplo 1:
12y´´ - 5y´ - 2y = 0
Paso 1: convertir las Y en M
12y´´ - 5y’ – 2y = 0 es igual a 12m2 – 5m – 2 = 0
Paso 2: factorización
En este paso factorizaremos 12m2 – 5m – 2y = 0 en estecaso como no hay números que sumados nos den – 5m y multiplicados nos de – 2 utilizamos las raíces: -b ± √ b2 - 4ac
2a
Paso 3: le damos valores a las “m” donde 12m2 = a, -5m = b y en este caso -2 = c
Paso 4: sustituimos los valores en las raíces sin poner las “m” –(–5)√(–5)2–4(12)(–2)
2(12)
Paso 5: simplificamos la ecuaciónmultiplicando y sumando los valores
5+√121
24
Paso 6: separamos la ecuación para sacar la raíz
5 + √121
24 24
Paso 7: como el valor de la raíz es exacto sacamos su valor y como no podemos simplificar mas así queda nuestro resultado
5 + 11
24 24
Paso 8: damos el valor a las “m” donde:
M1 = 5 + 11 M2 = 5 – 11
24 24 24 24Paso 9: integramos los casos
Sabiendo que m1 y m2 son reales y distintos utilizamos el caso #1
Y=C1 em1x + C2 em2x que es igual a Y=C1 e5/24+11/24x + C2 e5/24-11/24x

Ejemplo 2:
Y´´ - 10y´ + 25y = 0 m2 – 10m + 25y = 0 convertimos las “y”en “m” paso 1
(m – 5 ) (m – 5 )  factorización paso2
En esta factorización se realiza de esta manea ya que si hay manera de que m2 la sacamos de la multiplicación de (m)(m) – 10m de la suma de –5m –5m y + 25 de la multiplicación de (–5)(–5)
Despejamos las M: paso 3
M1 = 5
M2 = 5
En este caso son reales e iguales y utilizamos el caso #2 y su solución es:
Y= C1em1x + C2xem1x
Y= C1e5x +C2xe5x









Dependencia e independencia lineal, wronskiano
El wronskiano puede determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado.
Se dice que:
Si el wronskiano (w) es ≠ 0 son linealmente independiente (l.i.)
Si el wronskiano (w) es = 0 son linealmente dependiente (l.d)
Ejemplo 1
Nos dan 2 funciones x2 , 4x
Paso 1: determinar las matrices,como son 2 funciones tendremos una matriz de 2x2, en la parte superior de la matriz se colocan las funciones y debajo su derivada, en este caso:
W = (x2 , 4x ) │x2 4x│
│2x 4 │
Paso 2: hacemos una multiplicación cruzada en las matrices
(x2) (4) y (2x) (4x)
Su resultado es:
4x2 – 8x2 (el menos que nos da en esta ecuación es por ley)
Paso 3: sumamos o restamos lostérminos iguales en este caso 4x2 – 8x2 quedando como resultado w= – 4x2
Paso 4: ya que tenemos el resultado damos su sentencia en este caso como – 4x2 ≠ 0 decimos que es linealmente independiente (l.i)






Ejemplo 2
Se tienen 3 funciones (x2, x, 1) determinar si es linealmente dependiente o independiente
Este ejemplo es parecido al pasado pero ahora como son tres funciones...