estudiante

3.7 Teorema de Varignon


La propiedad distributiva de los productos vector se puede utilizar para determinar
el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. si
varias fuerzas F1, F2,. . . se aplican en el mismo punto ,
y si denotamos por el vector posición A, se sigue inmediatamente
de: r x (F1 + F2 + ...)=r x F1 + r xF2 + ….

En palabras, el momento alrededor de un puntodado O de la resultante de varios
fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de los diversos
fuerzas sobre el mismo punto O. Esta propiedad, que fue originalmente
establecido por el matemático Varignon Francés (1654-1722) de largo
antes de la introducción de álgebra vectorial, que se conoce como de teorema de Varignon.

La relación hace que sea posible reemplazar el calculodirecta
del momento de una fuerza F por la determinación de la
momentos de dos o más fuerzas componentes. Como se puede ver en la
siguiente sección, F generalmente será resuelto en componentes paralelos
a los ejes de coordenadas. Sin embargo, puede ser más rápido en algunas
instancias para resolver F en componentes que no son paralelas a la
ejes de coordenadas

3.8 ComponentesRectangulares del Momento de una Fuerza

En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se
simplificar considerablemente si la fuerza y el vector de posición de su
punto de aplicación se resuelven en rectangulares x, y, z compo-
nentes. Considere, por ejemplo, el momento MO sobre O de una fuerza F
cuyos componentes son Fx, Fy, Fz y y que se aplica en un punto
Una de lascoordenadas x, y, y z. Observando que la compo-
nentes del vector de posición r son, respectivamente, iguales a la coordi-
denadas x, y, z del punto A, se escribe :

r = xi + yj + zk

F = F xi + F y j + F zk


sustituyendo r y F

MO= r x F

y recordando los resultados obtenidos en la sección, escribimos el momento
MO de F con respecto a O, en forma

MO = M xi + M y j + M zk
(3.1)

dondelos componentes Mx, My y Mz se definen por las relaciones

M x = yFz – zFy
(3.2)
M y = zFx - xFz

M z = xFy – yFx


Como se verá en la sección, el escalar componentes Mx, My y Mz
del momento MO medida la tendencia de la fuerza F para impartir
a un cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes X, Y, y Z, respectivamente
Sustituyendo de (3.2) en (3.1),también podemos escribir MO en
la forma del determinante









Para calcular el momento de MB sobre un punto B arbitraria de un
fuerza F aplicada en A, hay que sustituir el vector de posición
r en la ecuación. por un vector dibujado de B a A. Este vector es el
vector de posición de A respecto a B y se denota por rA / B. se observa
que rA / B se puede obtener restando rB de laAR, se escribe:

M B = rA/B x F = (rA - rB ) x F


o bien, en forma determinante








donde xA / B, yA / B, y ZA / B denotan los componentes del vector de rA / B:
xA/B = xA – xB

y
A/B
= yA – yB

z
A/B
= zA – zB


En el caso de los problemas que afectan a sólo dos dimensiones, los
fuerza F se puede suponer que se encuentran en el plano xy. Al hacer
z =0 y Fz = 0 en laecuación. obtenemos

MO = (xFy - yFx )k

Verificamos que el momento de F con respecto a O es perpendicular al plano
de la figura y que está completamente definida por el valor escalar

MO = M z = xFy – yFx




Como se señaló anteriormente, un valor positivo para MO indica que el vector de MO
apunta hacia afuera del plano del papel (la fuerza F tiende a girar el cuerpo contra-
lasagujas del reloj sobre O), y un valor negativo indica que el vector de MO
puntos en el papel (la fuerza F tiende a girar el cuerpo hacia la derecha
sobre O).
Para calcular el momento en B (xB, yB) de una fuerza de mentir en el
plano xy y aplicada en A (xA, yA), que establecen zA / B = 0 y
Fz = 0 en las relaciones y observe que el vector MB es perpendicular al plano xy y se define en magnitud...