Estudiante

Laboratorio de Control Automático
PRÁCTICA 11
Seguimiento de trayectorias en variables de estado

Objetivos

Los objetivos de esta práctica son el poder entender el modelo matemático, hacer que el sistema siga una trayectoria deseada además de poder aplicar los conocimientos de variables de estado aprendidos en prácticas pasadas a esta y poder diferenciar entre el calculo matemático y lasimulación.

Introducción

En esta práctica se continuara trabajando con el control de sistemas en variables de estado. Ahora se tendrá que obligar al sistema de laboratorio (Sistema torsional o sistema lineal) a seguir una trayectoria deseada, desde una constante hasta una senoidal. Se utilizaran las matrices que se hayan obtenido de la caracterización de la planta trabajada, variables deestado. Hay que obtener la forma canónica del sistema debido a que si se encuentra de otra forma no nos servirá o no se podrá hacer que siga la trayectoria deseada. Se definirá la función de error para el seguimiento y una función de entrada que haga a este sistema exponencialmente estable (U). Después se asignaran los valores que le correspondan a la función de error. Se resuelve y se despeja lafunción U, la cual contrarrestara a la función de error.
Obtenidos los datos que se describieron con anterioridad se pasara a usar el Simulink en donde se armara el bloque de variables de esta y se agregara, con bloques, la función U.
El resultado son 3 bloques, en cada bloque se pondrá la función correspondiente donde es la función a seguir, la derivada de dicha función y la doble derivada de dichafunción, hay que tomar en cuenta que la derivada de la primera función traerá consigo nuevas constantes y habrá que tomarlas en cuenta para que la práctica tenga éxito.

Marco Teórico

Para poder desempeñar los siguientes pasos es necesario que la representación del sistema en variables de estado, , nuestra matriz debe estar en su forma canónica controlable la cual esta dada de la siguienteforma:

Mat. 1. Forma canónica controlable de A

Mat. 2. Forma canónica controlable de B

Mat. 3. Forma canónica controlable de C

Esta la podemos obtener de la función de transferencia de la planta acomodando sus respectivas constantes a como se nombran a continuación en la ecuación 4.
Ec. (1)
Se desea que la salida del sistema se establezca asintoticamente en una referenciaespecífica, esta viene dada con el uso de variables de estado en donde tenemos una función error y una función de entrada adecuada. Para un sistema de segundo orden se tomaría las siguientes matrices y la ecuación 2:

Mat. 4. Forma canónica de A de segundo orden

Mat. 5. Forma canónica de B de segundo orden

Ec. (2)

Mostrara un ejemplo de seguimiento de trayectorias con variables deestado. Dado los siguientes estados de un sistema de segundo orden:
Ec. (5)
Se requiere un seguimiento de la función , la función es la función que seguirá el sistema, con esta definimos nuestro error.
Ec. (6)
Despejamos a y la función que nos queda es la siguiente:
Ec. (7)
Le sacamos la primera derivada a la ecuación 6 con la finalidad de encontrar una nueva función deerror, esta queda definida en la ecuación 8 al igual que la nueva variable .
Ec. (8)
Ec. (9)
Ec. (10)
Ahora tomando esta nueva función del error, ecuación 8, la volvemos a derivar para así tener nuestra función de error correspondiente al sistema.
Ec. (11)
Ahora sustituimos la ecuación 5 en la ecuación 10 y con esto nos queda la ecuación 11.
Ec. (12)
Ahoraencontraremos nuestro sistema de error con las ecuaciones que hemos sacado. Podemos asumir que:
Ec. (13)
Ahora, tomando la ecuación 7 y la ecuación 10 pasamos a sustituirla en la ecuación 11 para así ya tener nuestro sistema de error, la ecuación obtenida se muestra en la ecuación 14.
Ec. (14)
Haciendo agrupación de términos la ecuación final nos queda de la siguiente forma:
Ec. (15)
Lo...